小薗先生の講義にて，Besov空間の定義に何で補間空間論を用いないのだろうと思っていたが，なんとなくその理由がわかってきた気がする．そういえば，昨日の講義ではG先生以外に，(京都にいるはずの）S先生もいてとても驚いた．S先生の質問のおかげで，昨日先生が証明していた定理の一般形を知ることができた．意味のある質問って大事だなあと思いました．（終）

2017-06-05

よくわかるフーリエ級数。

よくわかるシリーズ

待望の（？）よくわかるシリーズ第3弾です．今回はフーリエ級数について解説します．また，第1弾，第2弾はこちら．

フーリエ級数やフーリエ変換は数学のみならず，電気工学，信号処理，音響学，さらには経済学の分野にも応用されるほど，有用な「テクニック」である．しかし，テクニックを理解できていない人は多い気がする．今回は細かいところはざっと飛ばして，フーリエ級数のアイディアなどに絞って解説する．よって数学の厳密なことについては今回はあまり扱わない．詳しいことについては後に挙げる本で勉強してください．また，フーリエ変換，ラプラス変換については次回扱います．

1．フーリエ級数の誕生
2．フーリエ級数展開の書き換え
3．フェイェールの部分和

1．フーリエ級数の誕生

フランスの数学者・物理学者であったフーリエ男爵は熱の伝わり方（熱伝導）に関する研究をしていた．彼は次の熱方程式を発見した．

$\begin{cases}{\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} -c\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0\qquad(c\gt 0)},\\ u(x,0)=f(x),\\ u(x+2\pi,t)=u(x,t).\end{cases}$

この方程式を変数分離により解く．まず，この熱方程式の解 $u(x,t)=X(x)T(t)$ とおく．ここで， $X(x), T(t)$ はそれぞれ $x$ のみ， $t$ のみの関数である．すぐわかるように，ある定数 $\lambda$ （実数）に対して

$\begin{cases}T'+\lambda cT=0,\\X''+\lambda X=0\end{cases}$

を得る．この解は，

$T(t)=Ce^{-\lambda ct},$

$X(x)=\begin{cases}A\cos\sqrt{\lambda} x+B\sin\sqrt{\lambda}x\qquad(\lambda\gt 0),\\A+Bx\qquad(\lambda=0),\\Ae^{\sqrt{-\lambda}x}+Be^{-\sqrt{-\lambda}x}\qquad(\lambda\lt 0)\end{cases}$

である．

$\lambda\leq 0$ の場合は面白くないので今は $\lambda\gt 0$ の場合のみを考える．得られた解のうち，境界条件 $u(x+2\pi,t)=u(x,t)$ を満たすものを求める．この境界条件から，

$u(0,t)=u(2\pi,t),\quad u_x(0,t)=u_x(2\pi,t)$

が導かれる．すなわち， $u(x,t)=T(t)X(x)$ より

$T(t)X(0)=T(t)X(2\pi),\quad T(t)X'(0)=T(t)X'(2\pi)$

である．よって， $T(t)=0$ であるか，あるいは，

$X(0)=X(2\pi),\quad X'(0)=X'(2\pi)$

である．

$T(t)=0$ なるときは $u(x,t)=0$ となる．このような場合を除いた場合， $T(t)X(0)=T(t)X(2\pi),\quad T(t)X'(0)=T(t)X'(2\pi)$ より

$\begin{cases}A=A\cos 2\pi\sqrt{\lambda}+B\sin 2\pi\sqrt{\lambda},\\B=-A\sin 2\pi\sqrt{\lambda}+B\cos 2\pi \sqrt{\lambda}\end{cases}$

とならなければならない．これは少し書き直すと

$\begin{cases}(1-\cos 2\pi\sqrt{\lambda})A-(\sin 2\pi\sqrt{\lambda})B=0,\\(\sin 2\pi\sqrt{\lambda})A+(1-\cos 2\pi\sqrt{\lambda})B=0\end{cases}$

となるので，この係数の行列式は

$(1-\cos 2\pi\sqrt{\lambda})^2+(\sin 2\pi\sqrt{\lambda})^2=0$

でなければならないが，それは $\sqrt\lambda$ が整数の場合に限る（もしそうでないならば，任意の $A,B$ が解になる）．

このとき，任意定数 $A,B$ に対して

$X(x)=A\cos nx+B\sin nx\qquad(n=1,2,\dots)$

である．結局，

$u(x,t)=e^{-cn^2 t}(A\cos nx+B\sin nx)\qquad(n=1,2,\dots)$

が解となる．

ここで， $A\mapsto A_n,\quad B\mapsto B_n$ と書き直して，

$u_0(x,t)=A_0,\\u_n(x,t)=e^{-cn^2 t}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)\qquad(n=1,2,\dots)$

とおく．当然これらも方程式の解である．また，熱方程式と境界条件の線形性より，解を重ね合わせた

$A_0+{\displaystyle\sum^{m}_{n=1}}e^{-cn^2 t}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)$

も方程式の解である．

ここで， $m$ はどんな数でもいいので， $m\to\infty$ として，

$u(x,t)=A_0+{\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}}e^{-cn^2 t}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)$

を得る．この級数が収束するかどうかはとりあえず無視しよう．収束すると期待しよう．

最後に初期条件 $u(x,0)=f(x)$ を考えると，

$f(x)=A_0+{\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)$

が成立してなければならない．

フーリエ男爵は任意の周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ に対して， $A_0,A_n,B_n$ を

$A_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx},\\{\displaystyle A_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx},\\{\displaystyle B_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx$

と定めれば，初期条件が成立することを明らかにした．こうして方程式が解けたわけである．

すなわち，フーリエ男爵は関数 $f(x)$ の級数展開の公式を与えたのである．この級数がフーリエ級数なのである．

2．フーリエ級数展開の書き換え

オイラーの公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ を思い出せば，先程のフーリエ級数はもっとシンプルにかけるような気がする．級数の表示をもっとシンプルにできれば様々な性質が見えてくるはずだ．

まず $E$ を内積空間とする．まあ，よくわからなかったから，「直交」という概念がある，ユークリッド空間の拡張のようなもの，と考えてもよい．内積空間 $E$ に含まれる $0$ でないベクトルの部分集合 $S$ が直交系であるとは，任意の $x,y\in S\quad(x\neq y)$ が互いに直交することである．さらに，すべての $x\in S$ が $\|x\|=1$ を満たすとき，正規直交系という．

すぐわかるように，

$\phi_n(x)={\displaystyle \frac{e^{inx}}{\sqrt{2\pi}}}\qquad(n=0,\pm 1,\pm 2,\dots)$

は $L^2([-\pi,\pi])$ の正規直交系である．ここで， $L^2([-\pi,\pi])$ は $[-\pi,\pi]$ 上の2乗可積分関数の全体である．すなわち， $f\in L^2([-\pi,\pi])$ とは，ルベーグ可測関数 $f(x)$ に対し， $|f(x)|^2$ が $[-\pi,\pi]$ 上でルベーグ積分可能であることを表す．

（注）ルベーグ積分については以下などを参照のこと．

この観点から，

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt\pi}, \frac{\sin 2x}{\sqrt\pi}},\dots$

は $L^2([-\pi,\pi])$ で正規直交系をなすことはすぐわかる．この直交系によるフーリエ級数展開は，先程も見たように，

$f(x)={\displaystyle \frac{A_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)$

となる．ただし，

${\displaystyle A_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx},\\{\displaystyle B_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx}.$

ここで，定数項を変えたのは $A_n\quad(n\geq 1)$ と同じ形で表すためである．

一方， $\phi_n(x)$ を用いればこのフーリエ級数展開を書き換えることができる．実際，

$f(x)={\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{inx}},\\{\displaystyle C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-inx}f(x)\,dx}$

である．このとき， $A_n,B_n,C_n$ の間には次の関係式が成り立つ．

$2C_n=A_n-iB_n,\quad 2C_{-n}=A_n+iB_n\quad(n\geq 0).$

さて次に，フーリエ級数の部分和を考えてみよう．フーリエ級数の部分和を

$s_m(x)={\displaystyle \frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^m(A_n\cos nx+B_n\sin nx)}\\={\displaystyle\sum_{n=-m}^{m}C_ne^{inx}}$

とおく．ちょこっと計算すればわかるように，この $s_m(x)$ は

$s_m(x)={\displaystyle \frac{1}{2\pi}\sum_{n=-m}^{m}\int_{-\pi}^{\pi}e^{in(x-y)}f(y)\,dy}\\={\displaystyle \int_{-\pi}^\pi K_m(x-y)f(y)\,dy}.$

と積分表示に直すことができる．ここで，

$K_m(x-y)={\displaystyle \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\sin(m+1/2)(x-y)}{\sin(x-y)/2}}$

であり，さらに

$\int_{-\pi}^{\pi}K_m(x-y)\,dy=1$

が成り立つ．

フーリエ級数を求めるということは気持ちとしては $\lim_{m\to\infty}s_m(x)$ を計算して，これが $f(x)$ に等しいと言いたいが， $f(x)$ が連続というだけでは，これは成り立たない（さらに $f(x)$ は有界変動であるという条件が必要）．このように，この $s_m(x)$ はあまり良い「近似」ではないことがわかる．これを解決したのがフェイェールである．

3．フェイェールの部分和

ハンガリーの数学者フェイェールは部分和 $s_m(x)$ の代わりに，そのチェザロ平均

$\sigma_m(x)={\displaystyle \frac{1}{m+1}[s_0(x)+\cdots+s_m(x)]}\\={\displaystyle \sum_{n=-m}^{m}\frac{m+1-|n|}{m+1}}C_ne^{inx}$

を考えた．これをフェイェールの部分和という．

これは

$\sigma_m(x)={\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}F_m(x-y)f(y)\,dy}$

と積分表示に直せる．ただし，

$F_m(x-y)={\displaystyle \frac{1}{2\pi(n+1)}\Big(\frac{\sin(n+1/2)(x-y)}{\sin (x-y)/2}\Big)^2}.$

この $F_m(x-y)$ は先程の $K_m(x-y)$ と同様に，

$\int_{-\pi}^\pi F_m(x-y)\, dy=1$

という性質を持つ．

詳細は省くが，この $F_m(x-y)$ は先程の $K_m(x-y)$ に比べて「良い」振る舞いをする．このため， $f(x)$ が連続かつ周期的であれば，一様に

${\displaystyle\lim_{m\to\infty}\sigma_m(x)=f(x)}$

であることがわかる．

＊このフェイェールの部分和はワイエルシュトラスの多項式近似定理の証明に用いられる．

この辺のことをもっと勉強したい場合は，

フーリエ解析大全〈上〉

作者: T.W.ケルナー,T.W. K¨orner,高橋陽一郎
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 1996/08
メディア: 単行本
クリック: 2回
この商品を含むブログ (6件) を見る

をお薦めします．

アマゾンのレビューを見ると誤植，誤訳がひどい，とありますが，内容自体はすばらしいものなので，誤植や誤訳を訂正する気持ちで読み進めるのがいいと思います．ちなみに，原著のほうも誤植は多いです．

今日は暑いので，これからカキ氷を食べようと思います．では．

2017-06-02

研究進捗2017/6/2

研究進捗

先週久々に馬券を買ったのですが、外れてしまいました。人生甘くないようです。

・推薦入試を受けた。合格発表はいつなんだろうか。

・非線形項を書き下した。あと少し残っているが、LaTeXでまとめるだけである。

・線形化をする際の仮定を少し改良した（気がする）。これについてはもう少し考察が必要だ。

・最大正則性原理の証明を少し書いた。何の不等式を証明すればいいのか、迷子になってしまった。

＜来週の目標＞

・迷子から脱出し、最大正則性原理の証明を完成させる。

・秋（9月）の学会のアブストラクトを書き、講演を申し込む。

・ソボレフの埋め込み定理を復習し、非線形項の評価をいくつか行う。

今日もいい1日でした。特に院生室で作ったかき氷は美味しかったです🍧。おやすみなさい。

2017-05-26

研究進捗2017/5/26

研究進捗

今日も良い一日でした．

・中本に行った．やっぱり定期的に行かなきゃだめだ．

・半群の理論をおさらいした．完全に思い出すことができた．

・初期値が0でない場合の処理に苦戦した．しかし，先程良いアイディアが浮かんだので，うまく評価できそうだ．

・スライドを訂正した．発表練習はしなかった．しなくてもいっかな．練習しても緊張するだろうし．

・非線形項を少し書き出した．複雑すぎて心が折れそう．

＜来週の目標＞

・最大正則性原理の証明を完成させる．

・非線形項をがんばって書き出す．

・推薦入試をがんばる．

去年参加した，発展方程式若手セミナーに今年も参加して発表したいなと思っていたのですが，ほかの研究集会（というよりサマースクール？）と重なってしまい参加できなくなってしまいました．かなしいなあ．余談ですが，数学科応用数理学科のオリエンテーションに参加させていただくことになりました．よろしくお願いいたします．

2017-05-19

研究進捗2017/5/19

研究進捗

20歳になってからほぼ毎日日記をつけているのですが，たまに振り返ってみると面白いものです．しばらく中本に行ってないので，誰か一緒に行きましょう．

・arXiv の "on hold" が解除されて，arXiv にアップされた．リンク：

[1705.04314] Compressible-incompressible two phase flow of Korteweg type with phase transition: model problem

・助教の先輩との話し合いの結果，修論を英語で書くことにした．まあたしかに，いまさら論文を和訳するのはめんどくさい．

・柴田先生及び清水先生の論文（2007，Diff. Int. Eqns.）の時間局所解の部分を読んだ．非線形問題を解くときの縮小写像のアイディアを勉強した．

・学振DC1の申請書を少し訂正して提出した．通るかどうかたぶん五分五分だな．

・修論の構成を考えた．

・先生のいう通り，後に復習できるように，解析半群や最大正則性について復習し，それを修論にまとめた．去年勉強したことなのに，忘れている部分がそこそこあった．

・再来週の推薦入試で15分程度の発表を行わないといけないことが昨日判明したので，先程スライドを作った．

＜来週の目標＞

・方程式の非線形項をすべて書き下す．

・フーリエ・マルチプライヤー定理を使ってレゾルベント評価を出...せたらいいな．

・スライドのチェック及び発表の練習を5回やる．

・半群，特に解析半群の理論をざっくり復習する．

今期，小薗先生の講義を受けているのですが，Besov空間の定義の仕方が私が勉強したのとは少し違うようです（たぶん本質的には同じ）．個人的に補間空間論を用いたほうがすっきりする気がするのですがどうなのでしょうか．誰か教えてください．では．

べっく日記

偏微分方程式を研究してるセミプロ研究者の日常

レクチャーノートを公開しました。

テレンス・タオ先生の関数解析・実解析の講義ノート。

研究進捗2017/6/8

よくわかるフーリエ級数。

1．フーリエ級数の誕生

2．フーリエ級数展開の書き換え

3．フェイェールの部分和

研究進捗2017/6/2

研究進捗2017/5/26

研究進捗2017/5/19