べっく日記

偏微分方程式を研究してるD1の日常

オリエンテーションに参加して来た。

昨日、一昨日と、学部3年生を対象とした、数学科応用数理学科のオリエンテーションにTAとして参加してきました。

 

場所は軽井沢のセミナーハウスです。

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他の学科では、学部1年や2年のときに行われることの多いオリエンテーションが、学部3年に行われるのは、みんながお酒を飲めるから、というのはなんとも早稲田大学らしいです。

 

ただ、校歌は歌いませんでした。たぶんみんな覚えてないから、ということだからなのでしょうか。

 

TAとして行ったので、もちろんいろいろ仕事があったわけですが、自由時間もありました。そこで、約7ヶ月ぶりくらいにテニスをやったのですが、全然打てませんでした。豊泉先生がうますぎてびっくりしました。

 

夕飯をはじめ、食事は全てバイキング形式でした。ふつうに美味しかったです。

 

さて、なんといっても最大(?)の楽しみは懇親会です。

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日本酒はどれも美味しかったです。ごちそうさまでした。

 

そしてなんとビンゴ大会がありました。

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私はリーチまではいったのですが、残念ながらビンゴにはなりませんでした。日頃の行いが悪いようです(?)

 

2次会があったわけですが、みなさんなかなか元気でした。私は3時くらいに寝ましたが、まだ起きている人もいました。

 

進学したいが、就職しようと悩んでいる人が多い印象を受けました。もちろん、家庭の事情もあると思いますが、家の人が許可してくれる、ということであれば、遠慮なく進学した方がいいのかなと思いました。進学しなければ、最先端の数学に触れられないと思います。最先端の数学は「生き生き」としているので、数学に対する価値観も少し変わるのではないかと思います。

 

翌朝頑張って7:30に起床した私は、前日に1時間テニスしただけで筋肉痛になってしまいました。完全におっさんです。よって、この日は運動することなく、大人しくレクチャーを受けました。

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なかなかみなさん熱心でした。見習いたいものです。

 

交流できた学部生の方が限られてしまったのは少し残念でした。しかしながら、参加したことにより、普段交流できないような他分野の先生や先輩方とお話ができたのはとても良かったと思います。

 

来年も都合が合えば参加できらいいなと思います。

研究進捗2017/6/16

アブストラクトを少し訂正して提出した.

・レクチャーノートを公開した.誤植あったら教えてください.

・Prüss先生のグループの論文を何本か読んだ.時間局所解の存在証明だけなら,もっと証明がシンプルになることがわかった.ノルム評価も出せなくはないけど,出すとなるとShimizu-Yagiの論文をただ繰り返すだけになるし,それじゃあつまらないな.Remarkで言及するだけでいいかな.というよりRemarkで言及してAppendixで少し書けばいいか.

・出張の手続きを少しした.

 

<来週の目標>

修士論文をとりあえず完成させ,再来週から校正する.

 

学部4年のゼミの様子を助教の先輩からちょくちょく聞くのですが,本の読むスピードが私のときよりも5倍くらい早くてびっくりしています.まだ会ったことないけど,後輩の皆さん,たくさん勉強して私に教えてください.よろしくお願いいたします.

レクチャーノートを公開しました。

先程,私のホームページに,Bochner積分とベッセル関数についてのレクチャーノートを公開しました.

 

リンク:Memo - Keiichi WATANABE

 

ご活用いただければ幸いです.

 

これからも少しずつアップしていこうと思います.

では.

テレンス・タオ先生の関数解析・実解析の講義ノート。

一度勉強したことも,日々使わなければ忘れるんだなあと感じています.

 

さて,UCLA の教授,テレンス・タオ大先生は,様々なレクチャーノートをブログで公開していることで知られています.今日は,関数解析・実解析のレクチャーノート(のリンク)を紹介していこうと思います.また,そのレクチャーノートをまとめ,少し加筆された本がこちらです:

An Epsilon of Room, I: Real Analysis: Pages from Year Three of a Mathematical Blog (Graduate Studies in Mathematics)

An Epsilon of Room, I: Real Analysis: Pages from Year Three of a Mathematical Blog (Graduate Studies in Mathematics)

  • 作者: Terence Tao
  • 出版社/メーカー: Amer Mathematical Society
  • 発売日: 2011/02/15
  • メディア: ハードカバー
  • 購入: 1人 クリック: 8回
  • この商品を含むブログを見る
 

またこの本に限らず,タオ先生の本の特徴として,Exercise が(異常に)多いことが挙げられます.誰か解答を一緒に作りましょう.

 

以下,リンク先です(Chapter 及び Section の番号は紹介した本に対応しています).

 

Chapter 1. 実解析

1.1. 測度論の復習.

terrytao.wordpress.com

 

1.2. 符号付測度とラドン・ニコディムの定理.

terrytao.wordpress.com

 

1.3. Lp空間.

terrytao.wordpress.com

 

1.4. ヒルベルト空間.

terrytao.wordpress.com

 

1.5. 双対性とハーン・バナッハの定理.

terrytao.wordpress.com

 

1.6. 位相空間論の復習.

terrytao.wordpress.com

 

1.7. ベールのカテゴリー定理とそのバナッハ空間への応用.

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1.8. 位相空間におけるコンパクト性.

terrytao.wordpress.com

 

1.9. 強・弱位相.

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1.10. 局所コンパクトハウスドルフ空間における連続関数.

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1.11. Lp空間の補間.

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1.12. フーリエ変換

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1.13. 超関数.

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1.14. ソボレフ空間

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1.15. ハウスドルフ次元.

terrytao.wordpress.com

 

Chapter 2. 関連する話題

2.1. カラテオドリの拡張定理の別証明.

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2.2. 従順,ピンポンの補題及びバナッハ・タルスキーのパラドックス

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2.3. ストーンの表現定理とルーミス・シコルスキの表現定理.

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2.4. 整列集合,順序及びツォルンの補題

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2.5. コンパクト化と距離化.

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(注)リンク先はと1.10. 同様.紹介した本では,リンク先の内容を分けている.

 

2.6. ハーディーの不確定性原理

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2.7. イプシロンの部屋を作れ.

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2.8. 従順.

terrytao.wordpress.com

研究進捗2017/6/8

今日もいい天気だ.今日くらいの気温が一番気持ちい.

 

非線形項をすべて書き出した.

・線形化する際の仮定は悪くはなさそうだ.

・最大正則性原理の証明を終えた(気がする).

・9月の研究集会のアブストラクトを書き終えた.

・ソボレフの埋め込みは復習しなかったが,Shimizu-Yagi (D.I.E.,2015)の論文がわかりやすそうだった.なんとなくやりたいことをつかんだ気がする.

 

<来週の目標>

アブストラクトをチェックし,提出する.

・Shimizu-Yagi の論文を参考に,縮小写像を構成する.もしだめそうなら Shibata-Shimizu の論文を参考にやる.

・最大正則性原理の証明をしっかりチェックする.

・9月の出張の手配や手続きをする.

 

 

小薗先生の講義にて,Besov空間の定義に何で補間空間論を用いないのだろうと思っていたが,なんとなくその理由がわかってきた気がする.そういえば,昨日の講義ではG先生以外に,(京都にいるはずの)S先生もいてとても驚いた.S先生の質問のおかげで,昨日先生が証明していた定理の一般形を知ることができた.意味のある質問って大事だなあと思いました.(終)

よくわかるフーリエ級数。

待望の(?)よくわかるシリーズ第3弾です.今回はフーリエ級数について解説します.また,第1弾,第2弾はこちら.

 

フーリエ級数フーリエ変換は数学のみならず,電気工学,信号処理,音響学,さらには経済学の分野にも応用されるほど,有用な「テクニック」である.しかし,テクニックを理解できていない人は多い気がする.今回は細かいところはざっと飛ばして,フーリエ級数のアイディアなどに絞って解説する.よって数学の厳密なことについては今回はあまり扱わない.詳しいことについては後に挙げる本で勉強してください.また,フーリエ変換ラプラス変換については次回扱います.

 

 

1.フーリエ級数の誕生

フランスの数学者・物理学者であったフーリエ男爵は熱の伝わり方(熱伝導)に関する研究をしていた.彼は次の熱方程式を発見した.

\begin{cases}{\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} -c\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0\qquad(c\gt 0)},\\ u(x,0)=f(x),\\ u(x+2\pi,t)=u(x,t).\end{cases}

 

この方程式を変数分離により解く.まず,この熱方程式の解 u(x,t)=X(x)T(t) とおく.ここで,X(x), T(t) はそれぞれ x のみ, t のみの関数である.すぐわかるように,ある定数 \lambda (実数)に対して

\begin{cases}T'+\lambda cT=0,\\X''+\lambda X=0\end{cases}

を得る.この解は,

 T(t)=Ce^{-\lambda ct},

X(x)=\begin{cases}A\cos\sqrt{\lambda} x+B\sin\sqrt{\lambda}x\qquad(\lambda\gt 0),\\A+Bx\qquad(\lambda=0),\\Ae^{\sqrt{-\lambda}x}+Be^{-\sqrt{-\lambda}x}\qquad(\lambda\lt 0)\end{cases}

である.

 

\lambda\leq 0 の場合は面白くないので今は \lambda\gt 0 の場合のみを考える.得られた解のうち,境界条件 u(x+2\pi,t)=u(x,t) を満たすものを求める.この境界条件から,

u(0,t)=u(2\pi,t),\quad u_x(0,t)=u_x(2\pi,t)

が導かれる.すなわち,u(x,t)=T(t)X(x) より

T(t)X(0)=T(t)X(2\pi),\quad T(t)X'(0)=T(t)X'(2\pi)

である.よって,T(t)=0 であるか,あるいは,

X(0)=X(2\pi),\quad X'(0)=X'(2\pi)

である.

 

 T(t)=0 なるときは u(x,t)=0 となる.このような場合を除いた場合,T(t)X(0)=T(t)X(2\pi),\quad T(t)X'(0)=T(t)X'(2\pi) より

\begin{cases}A=A\cos 2\pi\sqrt{\lambda}+B\sin 2\pi\sqrt{\lambda},\\B=-A\sin 2\pi\sqrt{\lambda}+B\cos 2\pi \sqrt{\lambda}\end{cases}

とならなければならない.これは少し書き直すと

\begin{cases}(1-\cos 2\pi\sqrt{\lambda})A-(\sin 2\pi\sqrt{\lambda})B=0,\\(\sin 2\pi\sqrt{\lambda})A+(1-\cos 2\pi\sqrt{\lambda})B=0\end{cases}

となるので,この係数の行列式

(1-\cos 2\pi\sqrt{\lambda})^2+(\sin 2\pi\sqrt{\lambda})^2=0

でなければならないが,それは \sqrt\lambda が整数の場合に限る(もしそうでないならば,任意の A,B が解になる).

 

 このとき,任意定数 A,B に対して

 X(x)=A\cos nx+B\sin nx\qquad(n=1,2,\dots)

である.結局,

u(x,t)=e^{-cn^2 t}(A\cos nx+B\sin nx)\qquad(n=1,2,\dots)

が解となる.

 

ここで, A\mapsto A_n,\quad B\mapsto B_n と書き直して,

u_0(x,t)=A_0,\\u_n(x,t)=e^{-cn^2 t}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)\qquad(n=1,2,\dots)

とおく.当然これらも方程式の解である.また,熱方程式と境界条件の線形性より,解を重ね合わせた

 A_0+{\displaystyle\sum^{m}_{n=1}}e^{-cn^2 t}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)

も方程式の解である.

 

ここで, m はどんな数でもいいので,m\to\infty として,

u(x,t)=A_0+{\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}}e^{-cn^2 t}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)

を得る.この級数が収束するかどうかはとりあえず無視しよう.収束すると期待しよう.

 

最後に初期条件 u(x,0)=f(x) を考えると,

f(x)=A_0+{\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)

が成立してなければならない.

 

フーリエ男爵は任意の周期 2\pi の周期関数 f(x) に対して,A_0,A_n,B_n

{\displaystyle A_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx},\\{\displaystyle A_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx},\\{\displaystyle B_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx}

と定めれば,初期条件が成立することを明らかにした.こうして方程式が解けたわけである.

 

すなわち,フーリエ男爵は関数  f(x)級数展開の公式を与えたのである.この級数フーリエ級数なのである.

 

2.フーリエ級数展開の書き換え

オイラーの公式 e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta を思い出せば,先程のフーリエ級数はもっとシンプルにかけるような気がする.級数の表示をもっとシンプルにできれば様々な性質が見えてくるはずだ.

 

 まず  E内積空間とする.まあ,よくわからなかったから,「直交」という概念がある,ユークリッド空間の拡張のようなもの,と考えてもよい.内積空間 E に含まれる 0 でないベクトルの部分集合  S が直交系であるとは,任意の x,y\in S\quad(x\neq y) が互いに直交することである.さらに,すべての x\in S\|x\|=1 を満たすとき,正規直交系という.

 

すぐわかるように,

\phi_n(x)={\displaystyle \frac{e^{inx}}{\sqrt{2\pi}}}\qquad(n=0,\pm 1,\pm 2,\dots)

 L^2([-\pi,\pi]) の正規直交系である.ここで, L^2([-\pi,\pi])[-\pi,\pi] 上の2乗可積分関数の全体である.すなわち,f\in L^2([-\pi,\pi]) とは,ルベーグ可測関数  f(x) に対し, |f(x)|^2[-\pi,\pi] 上でルベーグ積分可能であることを表す.

(注)ルベーグ積分については以下などを参照のこと.


 この観点から,

{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt\pi}, \frac{\sin 2x}{\sqrt\pi}},\dots

L^2([-\pi,\pi]) で正規直交系をなすことはすぐわかる.この直交系によるフーリエ級数展開は,先程も見たように,

f(x)={\displaystyle \frac{A_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)

となる.ただし,

{\displaystyle A_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx},\\{\displaystyle B_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx}.

ここで,定数項を変えたのは A_n\quad(n\geq 1) と同じ形で表すためである.

 

一方,\phi_n(x) を用いればこのフーリエ級数展開を書き換えることができる.実際,

f(x)={\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{inx}},\\{\displaystyle C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-inx}f(x)\,dx}

である.このとき, A_n,B_n,C_n の間には次の関係式が成り立つ.

 2C_n=A_n-iB_n,\quad 2C_{-n}=A_n+iB_n\quad(n\geq 0).

 

さて次に,フーリエ級数の部分和を考えてみよう.フーリエ級数の部分和を

s_m(x)={\displaystyle \frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^m(A_n\cos nx+B_n\sin nx)}\\={\displaystyle\sum_{n=-m}^{m}C_ne^{inx}}

とおく.ちょこっと計算すればわかるように,この s_m(x)

s_m(x)={\displaystyle \frac{1}{2\pi}\sum_{n=-m}^{m}\int_{-\pi}^{\pi}e^{in(x-y)}f(y)\,dy}\\={\displaystyle \int_{-\pi}^\pi K_m(x-y)f(y)\,dy}.

積分表示に直すことができる.ここで,

K_m(x-y)={\displaystyle \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\sin(m+1/2)(x-y)}{\sin(x-y)/2}}

であり,さらに

{\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}K_m(x-y)\,dy=1}

が成り立つ.

 

フーリエ級数を求めるということは気持ちとしては {\displaystyle \lim_{m\to\infty}s_m(x)} を計算して,これが f(x) に等しいと言いたいが, f(x) が連続というだけでは,これは成り立たない(さらに  f(x)有界変動であるという条件が必要).このように,この s_m(x) はあまり良い「近似」ではないことがわかる.これを解決したのがフェイェールである.

 

3.フェイェールの部分和

ハンガリーの数学者フェイェールは部分和 s_m(x) の代わりに,そのチェザロ平均

\sigma_m(x)={\displaystyle \frac{1}{m+1}[s_0(x)+\cdots+s_m(x)]}\\={\displaystyle \sum_{n=-m}^{m}\frac{m+1-|n|}{m+1}}C_ne^{inx}

を考えた.これをフェイェールの部分和という.

 

これは

 \sigma_m(x)={\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}F_m(x-y)f(y)\,dy}

積分表示に直せる.ただし,

 F_m(x-y)={\displaystyle \frac{1}{2\pi(n+1)}\Big(\frac{\sin(n+1/2)(x-y)}{\sin (x-y)/2}\Big)^2}.

この  F_m(x-y) は先程の  K_m(x-y) と同様に,

 {\displaystyle \int_{-\pi}^\pi F_m(x-y)\, dy=1}

という性質を持つ.

 

詳細は省くが,この  F_m(x-y) は先程の  K_m(x-y) に比べて「良い」振る舞いをする.このため,f(x)連続かつ周期的であれば,一様に

 {\displaystyle\lim_{m\to\infty}\sigma_m(x)=f(x)}

であることがわかる.

 

*このフェイェールの部分和はワイエルシュトラスの多項式近似定理の証明に用いられる.

 

 

この辺のことをもっと勉強したい場合は,

フーリエ解析大全〈上〉

フーリエ解析大全〈上〉

 

をお薦めします.

 

アマゾンのレビューを見ると誤植,誤訳がひどい,とありますが,内容自体はすばらしいものなので,誤植や誤訳を訂正する気持ちで読み進めるのがいいと思います.ちなみに,原著のほうも誤植は多いです.

 

今日は暑いので,これからカキ氷を食べようと思います.では.

研究進捗2017/6/2

先週久々に馬券を買ったのですが、外れてしまいました。人生甘くないようです。

 

・推薦入試を受けた。合格発表はいつなんだろうか。

非線形項を書き下した。あと少し残っているが、LaTeXでまとめるだけである。

・線形化をする際の仮定を少し改良した(気がする)。これについてはもう少し考察が必要だ。

・最大正則性原理の証明を少し書いた。何の不等式を証明すればいいのか、迷子になってしまった。

 

<来週の目標>

・迷子から脱出し、最大正則性原理の証明を完成させる。

・秋(9月)の学会のアブストラクトを書き、講演を申し込む。

・ソボレフの埋め込み定理を復習し、非線形項の評価をいくつか行う。

 

 

今日もいい1日でした。特に院生室で作ったかき氷は美味しかったです🍧。おやすみなさい。