べっく日記

偏微分方程式を研究してるD1の日常

研究進捗2017/1/14

・方程式をフーリエ部分変換して x_n についての常微分方程式にした。

・未知関数8つに対して方程式が6つしか出てこなかったので、モデリングを再考した。

・以前発表した部分の仮定で誤っている箇所があり、それを訂正したら Korteweg テンソルの係数がきちんと定まらなかった。すなわち、よく知られた Korteweg テンソルの形にならなかった。

・以上のことをゼミで発表、というよりは先生と助教に報告した。

・先生から Bulk における方程式は間違ってないはずなので、もう一度 Heida-Marek の論文を読めと言われた。また、もしかしたら変形速度テンソルの定義が間違っている(1/2 をつけるかどうか)のでそこももう一度チェックしろと言われた。

・とはいえ、Korteweg テンソルの係数を正しく定めることができたとしても、interface condition すなわち jump condition はやはり1つまたは2つ足りない。ゼミで先生から  \nabla \rho \cdot \mathbb{n} の jump が0と仮定しろと言われた。この仮定は物理的にどのような意味を持つのか、いまだによくわからないが、おそらく質量保存のようなものを表すのだろう。

・もし、それだけでは足りない場合、応力テンソルを分解して、通常の Navier-Stokes-Fourier のときの結果に沿うような形で新しく jump condition を作ろうといわれた。確かにこれは heat flux の仮定に Korteweg テンソル由来のものが含まれることを考えれば自然な仮定なのかもしれない。

・先生の言われた通り、論文を読み直した結果、変形速度テンソルの仮定を間違えたのではなく、圧力の仮定を間違ってたことが判明した。圧力は内部エネルギーを密度で微分したものに密度を2回かけたものであることが熱力学の第1法則からわかるが、今回の場合、内部エネルギーを密度と温度だけでなくさらに密度の gradient を加えた 2N+1 変数関数と仮定しているので、その結果、密度の gradient の分の「ずれ」が Korteweg テンソルに影響してくることがわかった。まあ要はもっと丁寧に論文を読めば解決できた話である。

修論計画書を少し書いた。

 

<来週の目標>

モデリングを調べた際に様々な論文をダウンロードしてPCに保存したので、きちんと分類する。すなわちファイル名をきちんと書き換えて、参考文献リストを更新する。

・もう一度丁寧にエントロピー増大則について計算し、Korteweg テンソルを正しく導出する。

モデリングをまとめたPDFファイルを修正する。

フーリエ部分変換により得られた常微分方程式を解き、方程式の解表示を出す。

・可能ならば Lopatinski 行列式について解析する。この行列式は 4×4 の行列式で大変だがめげずに頑張りたい。

 

 

最近になってようやく路上教習が始まりました。教習所の近くは違法駐車が多いばかりか道も狭くてさらに歩行者も多くて泣きたくなってきます。マニュアル車の運転ってこんなにも大変なんですね。さて話は変わりますが今日は寒いですね。こんな日は中本の北極が食べたくなってきますね。うん、食べたくなってきた。お腹すいてきた。誰か一緒に食べに行きましょう。では。