べっく日記

偏微分方程式を研究してるセミプロ研究者の日常

研究進捗2016/11/25

研究進捗

・先週は質量保存，運動量保存についてのレクチャーを受けたので，それをまずまとめた．

・運動量保存の式がまだ完成していなかったので少し計算した．

・エネルギー保存則，熱力学第1法則を仮定した場合の境界条件を導出した．

・応力テンソルが T=S+K ；S=\mu D(u) +(\lambda-\mu){\rm div}u\ I-\pi I，K=(\alpha_0|\nabla\rho|^2+\alpha_1\Delta\rho^2)I+\beta\nabla \rho\bigotimes\nabla\rho で与えられる場合の様々な条件を導出し，一般に知られる Korteweg tensor がwell-defined であることを確認した．

 

＜来週の目標＞

・熱力学の観点から成立している式を仮定した場合の境界条件をすべて導出する．

・導出した境界条件が正しいことをゼミで確認する．

・ゼミで発表した内容を先生や助教の指摘をもとに修正し，LaTeXにまとめる．

 

 

 自動車学校と両立しながら頑張っていこうと思います．では．

修論の研究テーマが決まった。

報告

11月ももう中旬になり，今年も残りわずかとなった．そして修論の研究計画書の提出の締め切りもじわじわと迫っている．

 

さて，昨日のゼミにて修論の研究テーマが決まった．Navier-Stokes-Korteweg 方程式の2相問題，特に表面張力があり，相転移を伴う2相流体の自由境界問題を研究することになった．一見難しく聞こえるが，簡単にいえば水が蒸発するときにその水の境界がどう変わるのかを数学的にきっちり解析しようという研究である．ただし，非圧縮性流体の場合，圧力項の扱いが難しくなるので，とりあえずは圧縮性流体ー圧縮性流体の問題を考えるようだ．

 

Navier-Stokes-Korteweg 方程式は方程式に密度の微分の項が含まれている点が「通常」のNavier-Stokes 方程式と異なる．密度の微分の項が含まれるのは，相転移（例えば水が蒸発するなど）を考慮した為である．Navier-Stokes-Korteweg 方程式は最近盛んに研究されているが，ほとんどの研究が「1相」の問題である．しかし，Navier-Stokes-Korteweg 方程式は相転移を記述するために提唱された方程式であるので「2相」の問題を考えるのが自然である．

 

そういえば昨日のゼミの後先生に学振DC1についていろいろ話をされた．私は一言もD進するとは（たぶん）言ってないのに，D進を前提にいろいろ話が進んでいるのはなぜだろう．秋から研究始めるし，学振DC1は業績ゼロで突撃するのかなとてっきり思っていたけど，冬休みに立派でなくてもいいから練習のために論文を書きはじめて，4月にはアクセプトもらおうと先生に言われた．数学の理論系の場合，学振DC1は論文ゼロで応募する人が多い分，論文をもっているとかなり優位に立てるらしい．いつもお世話になっている助教は学振DC2に通っているので何か心強いが，タオ先生のブログに書かれていたように，いずれはきちんと先生から「独立」しなきゃいけなんだよなあ．

 

何はともあれ，今後研究の進捗を少しずつこのブログに書いていこうと思う．とりあえず今日は教習所いって坂道発進をマスターしたいと思います．

 

 

テレンス・タオのブログを読んでみた。

メモ

だんだんと寒くなってきて冬を感じるようになってきた．読んでいた論文も読み終わり，来週のゼミで考えたい物理現象のモデリングが終わる（モデリングのチェックが終了する）ので，ようやく研究がスタートする．

 

さて，テレンス・タオ先生のブログ内のキャリアアドバイスの記事が非常に役にたつという記事を見た．そこで私は英語の勉強も兼ねてタオ先生の記事を読んでみることにした．

Career adviceterrytao.wordpress.com

 

以下，備忘録として書き留めておく．英訳は各自に任せる．

 

タオ先生は学部と大学院での勉強の違いについて次のように述べている：

When learning mathematics as an undergraduate student, there is often a heavy emphasis on grade averages, and on exams which often emphasize memorisation of techniques and theory than on actual conceptual understanding, or on either intellectual or intuitive thought. There are good reasons for this; there is a certain amount of theory and technique that must be practiced before one can really get anywhere in mathematics (much as there is a certain amount of drill required before one can play a musical instrument well). It doesn’t matter how much innate mathematical talent and intuition you have; if you are unable to, say, compute a multidimensional integral, manipulate matrix equations, understand abstract definitions, or correctly set up a proof by induction, then it is unlikely that you will be able to work effectively with higher mathematics.

 

However, as you transition to graduate school you will see that there is a higher level of learning (and more importantly, doing) mathematics, which requires more of your intellectual faculties than merely the ability to memorise and study, or to copy an existing argument or worked example. This often necessitates that one discards (or at least revises) many undergraduate study habits; there is a much greater need for self-motivated study and experimentation to advance your own understanding, than to simply focus on artificial benchmarks such as examinations.

 

……

 

Whereas at the undergraduate level and below one is mostly taught highly developed and polished theories of mathematics, which were mostly worked out decades or even centuries ago, at the graduate level you will begin to see the cutting-edge, “live” stuff – and it may be significantly different (and more fun) to what you are used to as an undergraduate! (But you can’t skip the undergraduate step – you have to learn to walk before attempting to fly.)

 

タオ先生は紛れもない天才だが，次のように，タオ先生は数学には必ずしも才能は必要ではないと強く主張している：

Does one have to be a genius to do mathematics?

The answer is an emphatic NO. In order to make good and useful contributions to mathematics, one does need to work hard, learn one’s field well, learn other fields and tools, ask questions, talk to other mathematicians, and think about the “big picture”. And yes, a reasonable amount of intelligence, patience, and maturity is also required. But one does not need some sort of magic “genius gene” that spontaneously generates ex nihilo deep insights, unexpected solutions to problems, or other supernatural abilities.

その理由として次のように述べている：

The number of interesting mathematical research areas and problems to work on is vast – far more than can be covered in detail just by the “best” mathematicians, and sometimes the set of tools or ideas that you have will find something that other good mathematicians have overlooked, especially given that even the greatest mathematicians still have weaknesses in some aspects of mathematical research. As long as you have education, interest, and a reasonable amount of talent, there will be some part of mathematics where you can make a solid and useful contribution. It might not be the most glamorous part of mathematics, but actually this tends to be a healthy thing; in many cases the mundane nuts-and-bolts of a subject turn out to actually be more important than any fancy applications.

 

数学を研究・勉強していて退屈になってしまったときについて：

There will of course be times when one is too frustrated, fatigued, or otherwise not motivated to work on one’s current project. This is perfectly normal, and trying to force oneself to keep at that project can become counterproductive after a while. I find that it helps to have a number of smaller projects (or perhaps some non-mathematical errands) to have at hand when I am unwilling for whatever reason to work on my major projects; conversely, if I get bored with these smaller tasks, I can often convince myself to then tackle one of my bigger ones. 

 

先生から「卒業」することについて：

While you should talk to your advisor, you should not be completely reliant on him or her; after all, you are going to have to do mathematics primarily on your own once you graduate!

If you feel like you want to learn something, do something, or write something, you don’t have to clear it with your advisor – just go ahead and do it (though in some cases other priorities, such as writing your thesis, may be temporarily more important, and you should of course keep your advisor updated as to what you’re doing mathematically).Research your library or the internet, talk with other graduate students or faculty, read papers and books on your own (both in your field and in nearby fields), attend conferences, and so forth. (See also “ask yourself dumb questions”.)

One specific suggestion I have is to subscribe (either by RSS, or by email) to be notified of new papers which appear on the arXiv in the subject areas that you are interested in.

 

自分の分野とは「関係のない」研究集会に参加することについて：

Modern mathematics is very much a collaborative activity rather than an individual one. You need to know what’s going on elsewhere in mathematics, and what other mathematicians find interesting; this will often give valuable perspectives on your own work. This is true not just for talks in your immediate field, but also in nearby fields. (For much the same reason, I recommend studying at different places.) An inspiring talk can also increase your motivation in your own work and in the field of mathematics in general.

 

タオ先生のブログにはたくさんの有益な記事が載っているが，特に次の記事は参照したほうがいいと思う．

 

There’s more to mathematics than grades and exams and methodsterrytao.wordpress.com

Does one have to be a genius to do maths?terrytao.wordpress.com

Work hardterrytao.wordpress.com

Attend talks and conferences, even those not directly related to your workterrytao.wordpress.com

Take the initiativeterrytao.wordpress.com

 

では．

よくわかる Navier-Stokes 方程式。

よくわかるシリーズ

今日は2016年11月3日．20161103という数字が素数らしいが，特に胸が踊ることはない．ちなみに次素数になる日は2017年1月21日のようだ．

素数日のリスト - NoiseFactory

 

さて，以前こんな記事を書いた．

watanabeckeiich.hatenablog.com

 

Twitter で記事を紹介したところそこそこ反響があった．そこで，調子に乗って，今後「よくわかる〇〇」シリーズの記事を書いていこうと思う．

 

よくわかるシリーズ第2回は Navier-Stokes 方程式について解説したい．理由はいたってシンプルで，自分の研究テーマをわかりやすく説明することで後輩をゲットしたいからである（現時点でなぜか私の研究室には学生が私しかいない）．

 

そこで今回は Navier-Stokes 方程式の導出の説明は最小限にして，Navier-Stokes 方程式が何を記述しているのかを説明することにした．

 

【追記：2018年09月24日】

本記事は非常にあっさりした記事となっております．流体力学の観点からきちんと理解したい方は次の記事を参照してください：

watanabeckeiich.hatenablog.com

【追記ここまで】

 

以下この記事のメニューである．

0. Navier-Stokes 方程式とは

Navier-Stokes（ナビエ・ストークス）方程式はフランスの工学者ナビエ（L. M. H. Navier）によって提唱され，様々な数理物理学者たちの考察を経て，イギリスの数理物理学者ストークス（G. G. Stokes）によって定式化された次のような方程式である．

 

\begin{cases} \rho(\partial_t \textbf{u}+ (\textbf{u}\cdot \nabla) \textbf{u})=- \nabla p+\mu\varDelta \textbf{u}+ \rho \textbf{f},\\ { \rm div} \textbf{u}=0\ . \end{cases}

 

Navier-Stokes 方程式は後に説明する非圧縮性流体の運動を記述する方程式である．

 

圧縮性流体に対する同様の方程式もNavier-Stokes 方程式と呼ぶことが多い．いずれにせよ，第1式は流体の運動量保存を，第2式は流体の質量保存を表す．ただし， \textbf{u} は流体の速度ベクトル，p は流体中の圧力， \textbf{f} は外から流体に直接作用する力の総和， \rho は流体の質量密度を表す定数， \mu は粘性係数（定数）を表し， \textbf{u},\ p は未知関数であり， \textbf{f} は既知関数，\mu,\ \rho は正定数とする．粘性係数をゼロ，すなわち \mu=0 としたときの方程式は Euler 方程式と呼ばれ，この方程式の研究も盛んである．

 

Navier-Stokes 方程式は2階非線型偏微分方程式である．Navier-Stokes 方程式の難しさは非線型項 (\textbf{u}\cdot \nabla) \textbf{u} と圧力項 \nabla p があることと， \textbf{u} の時間発展方程式だが圧力 p に関してはそうではないゆえに \textbf{u},\ p を同様に扱うことができない点にある．

 

3次元空間における Navier-Stokes 方程式の解の存在とその滑らかさはいまだによくわかっておらず，解けたらクレイ数学研究所から$1,000,000 もらえるらしい．個人的にこの懸賞金が非課税なのかどうかが少し気になる（ノーベル賞のように法律で定められてないからたぶん課税されるのでしょう）．「素数の集合の中には任意の長さの等差数列が存在すること」を解決したUCLAの教授，テレンス・タオ先生（2006年フィールズ賞受賞者）はいろんな分野を研究しているが，最近では特にこの Navier-Stokes 方程式について研究しているようだ．

 

1. 流体

流体とは簡単に言えば気体と液体のことである．気体や液体についての力学，すなわち，気体や液体の動きについて数式を用いて考えていこうというのが流体力学である．この流体は大きく分けて圧縮性流体と非圧縮性流体がある．

 

１－１．圧縮性流体

空気のように圧縮できる流体を圧縮性流体という．ここでいう圧縮とは流体の密度が圧力の変化に応じて変化することをいう．高速空気力学はこの圧縮性流体を扱う．

 

１－２．非圧縮性流体

一方，水のように圧縮できない流体を非圧縮性流体という．この場合流体の密度が一定なので \rho は定数である．よって連続の式，すなわち，質量保存則 \partial_t \rho+{\rm div}( \rho \text{u})=0 より { \rm div} \textbf{u}=0 が従う．これを非圧縮条件と呼ぶことが多い．この非圧縮条件が Navier-Stokes 方程式 を難しくさせる要因の一つになっている．

 

２．物理法則

２－１．Lagrange 微分

非線型項が現れる原因は Lagrange 微分である．Navier-Stokes 方程式の第1式の左辺に現れる \partial_t \textbf{u}+ (\textbf{u}\cdot \nabla) \textbf{u} は \textbf{u} のLagrange 微分を表す．

 

Lagrange 微分とは物質微分とも呼ばれ，ざっくり言えば，流体中の分子を追っかけて微分しようというものである．つまり，流体の速度ベクトルを微分をするということは流体の変化をとらえようとしているわけだが，知りたいのは流体がどんな形に変形されるかではなく，流体中の分子がどこからどこに移動したかを知りたいので，速度ベクトルを時間で微分するだけでは不十分なので空間微分もする必要がある．そこで時間の微分と空間の微分を組み合わせた微分が Lagrange 微分である．

 

速度ベクトル \textbf{u} の Lagrange 微分は

\displaystyle \frac{{ \rm D} \textbf{u}}{{ \rm D}t}=\partial_t \textbf{u}+ (\textbf{u}\cdot \nabla)\textbf{u} 

と定義される．ここで \rm D は大文字であることに注意する．小文字の \rm d だと「通常」の時間微分を表すからである．

 

２－２．Cauchy の応力原理

ここでは証明しないが，流体（より一般に連続体）に対して Cauchy の応力原理が成り立つ．Cauchy の応力原理が成立する場合，運動量保存，すなわち運動方程式

\displaystyle \rho \frac{{ \rm D} \textbf{u}}{{ \rm D}t} = \rho \textbf{f} +{\rm div} \textbf T

が成り立つ．ここで， \textbf{T} は応力テンソルであり，圧力や支持力のように流体の境界面を通じて流体中の粒子に作用する力のことである．ここで \textbf{T} は N \times N 行列であることに注意する．

 

２－３．Stokes の連続公理

変形速度テンソル \textbf{D} の (i,\ j) 成分を次により定義する．

\displaystyle \textbf{D}=\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)_{1\leq i,\ j \leq N}.

 

応力テンソル \textbf {T} と変形速度テンソル \textbf{D} の間に Stokes の流体公理を仮定した場合，

\textbf{T}=\alpha \textbf{I}+\beta\textbf{D}+\gamma\textbf{D}^２

が成り立つ．ここで \alpha,\ \beta,\ \gamma はスカラー関数である．Stokes の流体公理を満たす連続体を流体と呼ぶので，この公理は成り立つと仮定してもよい．

 

非圧縮性流体の場合は Cauchy-Poisson の法則より

\textbf{T}=-p\textbf{I}+\mu\textbf{D}

が成り立つ．これを先程の運動方程式に代入すれば Navier-Stokes 方程式の第１式を得る．一方，圧縮性流体の場合はややこしくなるのでここでは省略する．

３．Stokes 方程式

流体の速度が遅い場合，すなわちレイノルズ数が小さい場合は非線形項 (\textbf{u}\cdot\nabla)\textbf{u} を無視することができ，Navier-Stokes 方程式で非線形項を無視したものを Stokes 方程式といい，Navier-Stokes 方程式を線型化したものである．

 

\begin{cases} \rho(\partial_t \textbf{u})=- \nabla p+\mu\varDelta \textbf{u}+ \rho \textbf{f},\\ { \rm div} \textbf{u}=0\ . \end{cases}

 

これに対する研究も盛んであり，この方程式の解について上手くまとまっているのが次の本である．

非線形偏微分方程式 (現代基礎数学)

非線形偏微分方程式 (現代基礎数学)

 

 こう言っては怒られてしまいそうだが，誤植があちこちにあるので，この本でわからない箇所があったら私に質問してください．

 

最後に私の研究について書こうと思ったけども，話がややこしくなりそうなのでまた今度書こうと思う．

では．

自動車学校に通い始めたけれども。

その他

久々にスタバに来たけれども、朝だとこんなにも空いてるんだな。今日から発売されたクリスマスブレンドを飲んでるが、やはり自分で淹れるコーヒーよりもおいしいな。何が違うんだろうか。

 

さて、なぜスタバに来たかというと、昼に自動車学校に行くからなんですね。早く行き過ぎてもしょうがないし、スタバで（数学の）勉強をして待機しようという試みである。今日は自動車学校に通い始めて思ったことを綴っていこうと思う。

 

私も最近知ったことだが、来年の3月中旬に普通自動車免許の運転可能範囲が変更になるようだ。どうせ免許取るならその前の方がいいということになる。年明け以降はクッソ混むらしいので、「比較的」空いてると言われている秋に入校することになった。

 

まあそもそもなぜ今まで免許を取ってなかったのかということではあるが、理由を挙げてみると「お金がなかった」に尽きるんだな。自動車学校のお金は自分で出せと言われたので自分で出している。ちなみに、大学院の学費も奨学金を借りてそこから全額自分で払ってる。

 

さて、免許取るには、通いで取るか、合宿で取るかの2通りあるが、ゼミや講義の関係上通いで取ることにした。しかし、時間に余裕があれば合宿で取った方がいいなと思った。

 

なぜなら、通いで取ろうとすると脱落する可能性が高いからだ。というのも、自動車学校の入校説明会で聞かされたのは、入校者のうち10〜20%はちゃんと卒業できないと言われた。そのおかげもあって（？）、私の通ってる自動車学校の本免合格率は95%以上で県内トップのようだ。

 

個人的に頑張ればすぐに免許が取れると思ったが、技能（運転の実習）の予約がなかなか取れず、たぶん取れるまでに2〜3ヶ月はかかりそうだ。技能のキャンセル待ちをするという選択肢もあるが、そんなことをするほど暇ではない。

 

今になって思うのは通いで免許取った人すごいなあってことですね。

 

結局何が言いたいかというと、学部のときに無理をしてでも合宿で免許取ればよかったなということですね。はい。

足の裏にサロンパスを貼ってみた。

メモ

去年までよくやっていたテニスも全くやらなくなったこともあり、運動不足である。また白髪が増えるだけでなく、肩も最近かなり凝るようになり、22歳にしてはかなりおじいちゃんみたいな感じがする。

 

さて、そんなこともあり、趣味のツイッターを見てみると、どうやら足の裏にサロンパスを貼るといいらしいという情報を得た。

 

ということで早速買ってきた。

 

f:id:watanabeckeiich:20161027195617j:image

 

近所のドラッグストアで購入したが、140枚入りで900円しなかった。思ってたよりは安かった。

 

風呂からあがった後に足の裏にサロンパスを貼った。貼る場所は以下の通り。

 

f:id:watanabeckeiich:20161028082907j:image

＊@katakori_ni_ さんのツイートより引用

 

貼って寝て起きてみたら、確かに目覚めはいつもよりよかった気がする。いつも舌打ちしながら目覚まし時計を止めてるが、今日は舌打ちしなかった。起きるときに舌打ちしてしまうのは我ながら悪い癖である。

 

では、身体がすっきりしたかと言われればあんまりそんなことはない気がする。しかし、ちょっぴり足がポカポカするな。

 

もう少し様子を見てみようと思います。では。

よくわかる測度論とルベーグ積分。

よくわかるシリーズ

今日はとても寒く、秋らしい天気だ。一般に秋になると、「〇〇の秋」という言葉を聞くけれども、〇〇に好きな言葉を入れれば秋らしくなるので不思議である。

さて、趣味のTwitterを眺めていると、測度論がわからないというツイートを見た。私は一応測度論のTAをやっているので、今回は測度論をざっくりわかりやすくまとめることにした。測度論は解析系や統計系では必須の道具である。私は解析系の人間なので、今回はルベーグ積分の基本であるFubiniの定理や単調収束定理、ルベーグの収束定理、積分記号下での微分をゴールに解説をすることにした。

以下、この記事のメニューである。

 

【追記：2021年08月12日】

本記事は非常にあっさりした記事となっております．もう少しきちんと理解したい方は次の記事を参照してください：

watanabeckeiich.hatenablog.com

【追記ここまで】

０．測度論の心

 測度論は一般に難しいと言われる。測度論の授業では抽象的な話がどうしても先行してしまうから、最初の数回の授業で挫折してしまうことが多いようだ（実際私はそうだった）。

 

しかし、ざっくりいってしまえば、測度論の試みは、集合の「サイズ」を測ることである。その「サイズ」の性質や、測り方を数学的に厳密に考えようというのが測度論である。 その測度論を基礎につくられたのがルベーグ積分である。

 

ルベーグ積分は、「へんてこな」関数も積分できるようになる、上手い積分である。ルベーグ積分を導入することによって、例えば２重積分の積分順序を変更する際、リーマン積分のときよりもチェックすべき条件が簡単になるというメリットがある。

 

要は測度論という難しい道具を導入することで、いろいろな問題が考えやすくなるということである。

 

１．測度の定義

ここでは測度の定義について扱う。測度とは集合の「サイズ」である。測度の定義の前に測る対象となる集合族の性質（完全加法族）を定める。これを定めておくことでいろいろな議論がスムーズにいく。完全加法族の定義を述べた後に測度や測度空間について定義して最後に測度の性質について述べる。

１-１．完全加法族

\mathcal{S} を X のある部分集合からなる集合族とする。\mathcal{S} が X 上の完全加法族（\sigma- 加法族）とは次の二つの性質を満たすときをいう。

（１） E \in \mathcal{S} \Rightarrow E^c \in \mathcal {S}

（２） \mathcal{S} の集合列 \{E_j\}_{j=1}^\infty に対し \displaystyle\bigcup_{j=1}^\infty E_j \in \mathcal {S} .

 

１-２．測度

 \mathcal{S} を X の完全加法族とする。写像 \mu:\mathcal{S}\to [ 0,\ \infty ] が次の二つの条件を満たすとき \mu を \mathcal{S} 上の測度という。

（１）\mu(\phi)=0

（２）互いに交わらない\mathcal{S} の集合列 \{E_j\}_{j=1}^\infty に対し

\displaystyle \mu(\bigcup_{j=1}^\infty E_j)=\sum_{j=1}^\infty\mu(E_j)

が成り立つ。

 

１-３．測度空間

  X を集合、\mathcal{S} を X 上の完全加法族、\mu を X 上の測度のとき、(X,\ \mathcal{S},\ \mu) を測度空間という。

 

また測度空間 (X,\ \mathcal{S},\ \mu) が完備であるとは、E\in \mathcal {S},\ \mu (E)=0 のとき任意の F\subset E に対し F\in\mathcal{S} かつ \mu (F)=0 が成立するときをいう。

 

１-４．測度の性質

以下５つの測度の性質はある意味当たり前な結果であるが、これらは我々の通常の感覚が正しいことを保証する。

 

(X,\ \mathcal{S},\ \mu) を測度空間とする。このとき（１）～（５）が成り立つ。

（１）E_j\in\mathcal{S} \ (j=1,\dots,N) が E_j\cap E_k=\phi\ (j\neq k) ならば

\displaystyle\mu(\bigcup_{j=1}^\infty E_j)=\sum_{j=1}^\infty \mu(E_j)．

（２）E,\ F\in\mathcal{S} かつ E\subset F ならば \mu(E)+\mu(F-E)=\mu(F) である。これより特に \mu(E)\leq\mu(F)である。また \mu(E) < \infty または \mu(F) < \infty のとき \mu(F-E)=\mu(F)-\mu(E) である。

（３）\mathcal{S} の集合列 \{E_j\}_{j=1}^\infty に対して

\displaystyle \mu(\bigcup_{j=1}^\infty E_j)\leq\sum_{j=1}^\infty\mu(E_j)．

（４）\mathcal{S} の集合列 \{E_j\}_{j=1}^\infty が単調増加、すなわち E_1\subset E_2\subset\cdots\subset E_j\subset \cdots ならば

\displaystyle\mu(\bigcup_{j=1}^\infty E_j)=\lim_{j\to \infty} \mu(E_j)．

（５）\mathcal{S} の集合列 \{E_j\}_{j=1}^\infty が単調減少、すなわち E_1\supset E_2\supset \cdots \supset E_j \supset \cdots でありかつ  \mu(E_1) < \infty ならば

\displaystyle\mu(\bigcap_{j=1}^\infty E_j)=\lim_{j\to\infty}\mu(E_j)．

 

２．ルベーグ積分の定義

ここではルベーグ積分の定義について扱う。高校までの積分はリーマン積分と呼ばれるもので、これは考える領域を短冊のように細かく「縦に」分割することで積分を定義した。一方でルベーグ積分は考える領域を玉ねぎのように「横に」スライスし、分割することで積分を定義する。つまり、ルベーグ積分では定義域ではなく値域を分割する。こうすることで、例えば、定義域が \mathbb{R}^N\backslash\mathbb {Q}^N\ (\mathbb{Q}; 有理数全体) のような「変な」関数もきちんと積分できるようになる。

 

 本来ならルベーグ積分に入る前に、外測度やルベーグ測度や可測関数などについていろいろ学習しないといけないが、あんまり気にしなくても先程述べた測度の性質さえわかっていればなんとかなるので、ここでは省略する。

２-１．特性関数

集合 A に対し

\chi_A(x)=\begin{cases}1 \quad (x\in A)\\0 \quad (x\notin A)\end{cases}

と定義する。このとき \chi_A(x) を A の特性関数という。

 

２-２．階段関数

  E_j \ (j=1,2,\dots,N) を \mathbb{R}^N 上ルベーグ可測集合とする。正の実数 a_j と E_j\cap E_k=\phi \ (j\neq k) に対して

\displaystyle \varphi(x)=\sum_{j=1}^N a _ j \chi_{E_ j}(x)

なる関数 \varphi(x) を階段関数という。

（注）\mathbb{R}^N 上ルベーグ可測集合とは、 \mathbb{R}^N 上で集合で「ちゃんと」測度が定まる、つまり、領域のサイズがきちんと決まるような領域と考えて大丈夫。

 

２-３．ルベーグ積分の定義

 階段関数 \varphi(x) に対して \varphi のルベーグ積分を

\displaystyle\int_E \varphi (x)dx = \sum_{j=1}^N a_j |E_j|

と定義する。ただし、\displaystyle E_j\cap E_k=\phi \ (j\neq k),\ E=\sum_{j=1}^N E_j,\ E\subset \mathbb{R}^N かつ |E_j| は E_j のルベーグ測度（＝ E_j の体積）である。

 

\mathbb{R}^N 上で定義された実数値関数 f(x) が f(x)\geq 0 \ (x\in \mathbb{R}^N) を満たすとする。f(x) に対しある階段関数の列\{\varphi_j(x)\}_{j=1}^\infty で \displaystyle \lim_{j\rightarrow \infty}\varphi_j =f(x) なるものが存在するとき、f(x) を非負のルベーグ可測関数という。このとき f(x) のルベーグ積分を

\displaystyle \int_E f(x)dx=\lim_{j\rightarrow\infty}\int_E \varphi_j(x)dx

で定義する。

 

正負両方の値をとるf(x) に関しては f^\pm(x)=\max(\pm f(x),0) とおき、f^\pm(x) がルベーグ可測関数のとき、f(x) はルベーグ可測関数という。f(x)=f^+(x)-f^-(x),\ |f(x)|=f^+(x)+f^-(x) であり、

\displaystyle\int_E |f(x)|dx < \infty

のときf(x) は E 上ルベーグ積分可能関数といい、

\displaystyle \int_E f(x)dx=\int_E f^+(x)dx-\int_E f^-(x)dx

でf(x) のルベーグ積分を定義する。

 

f(x) が複素数値関数である場合を考える。f(x) の実部、虚部をそれぞれ g(x),\ h(x) とすると、

g(x)=2^{-1}(f(x)+\overline{f(x)}),\ h(x)=(2i)^{-1}(f(x)-\overline{f(x)})

である。g(x),\ h(x) がルベーグ可測関数であるとき f(x) はルベーグ可測関数といい、g(x),\ h(x) がルベーグ可積分であるとき f(x) はルベーグ可積分という。このとき f(x) のルベーグ積分を

\displaystyle\int_E f(x)dx=\int_E g(x)dx +i\int_E h(x)dx

と定義する。

 

２-４．リーマン積分とルベーグ積分との関係

f(x) と |f(x)| の両方が（広義積分も含めて）リーマン積分可能であるならば f(x)  はルベーグ積分可能でありかつ両積分値は一致する。

 

つまりf(x) と|f(x)| の両方が（広義積分も含めて）リーマン積分可能であることさえチェックできれば、リーマン積分はルベーグ積分とみなすことができ、３節に挙げる重要な定理を用いることができる。

 

ここで注意すべきことはルベーグ積分可能ならばリーマン積分可能であるとは限らないことである。

 

２-５．almost everywhere

 集合 A の元が高々可算個しかない場合、A の測度を |A|=0 とし、測度が０であるような集合を零集合という。

 

 ある性質 X がルベーグ可測集合 G\subset \mathbb{R}^N のほとんどいたるところで成立するとは、ある性質 X が成立しないような G の点の集合が零集合のときをいい、 a.e.x\in G である性質 X が成立するという。

 

例えば、 \displaystyle \lim_{j\rightarrow\infty} f_j=f(x) が a.e. x\in G で成立するとは、 N=\{\ x\in G | \displaystyle \lim_{j\rightarrow\infty} f_j(x)\neq f(x)\} とおくとき、 |N|=0 が成立するときをいう。このとき

\displaystyle \lim_{j\rightarrow \infty}f_j(x)=f(x)\quad(a.e.x\in G)

と書く。

 

３．重要な定理

ここではよく用いる定理を紹介する。それぞれの定理の証明は大変難しいのでここでは省略する。気になる人は柴田良弘著『ルベーグ積分論』を参照してほしい。ルベーグ積分を勉強するなら和書の中ではこの本が一番。洋書だと Gerald B.Folland 著『Real Analysis』か Elias M.Stein, Rami Shakarchi 著『Real Analysis』のどちらかがおすすめ。個人的には後者の方が読みやすいと思う。

３-１．ルベーグの収束定理

 X をルベーグ可測集合とする。X 上で定義されたルベーグ積分可能な関数列 \{f_j\}_{j=1}^\infty が

（１）X 上ルベーグ積分可能関数 \varphi(x) で

|f_j| < \varphi(x)\quad(a.e.x\in X)

なるものが存在する。

（２）\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty} f_j(x)=f(x)\quad(a.e.x\in X)

を満たす。

（１）,（２）が成立するならば f(x) は X 上ルベーグ積分可能で

\displaystyle \lim_{j\rightarrow\infty}\int_X f_j(x)dx=\int_X f(x)dx

が成り立つ。

 

 

３-２．単調収束定理

 非負のルベーグ可測関数列 \{f_j(x)\}_{j=1}^\infty が単調増加列、すなわち、f_j(x)\geq 0 がルベーグ可測かつ f_1(x)\leq f_2(x)\leq\cdots\leq f_j(x)\leq f_{j+1}(x)\leq \cdots とする。また f(x)=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}f_j(x) とおく。このとき f(x) は非負のルベーグ可測関数かつ

\displaystyle \int_X f(x) dx= \lim_{j\rightarrow\infty}\int_X f_j (x)dx

が成り立つ。

 

３-３．積分記号下での微分

 G\subset \mathbb{R}^N,\ \Omega\subset\mathbb{R}^M かつ G,\ \Omega はルベーグ可測集合とする。関数 F を F: G\times \Omega \ni (x,\ \xi)\mapsto F(x,\ \xi)\in \mathbb{R}^{N+M} とする。さらに各 \xi\in \Omega に対し F(x,\ \xi) は x の関数として G 上ルベーグ積分可能であり、各 x\in G に対し F(x,\ \xi) は \xi 上の関数として \Omega 上微分可能であるとする。また、G 上で定義されたルベーグ積分可能関数 \varphi(x) ですべての \xi\in \Omega に対し

\displaystyle\left| \frac{\partial F}{\partial \xi_j}(x,\ \xi)\right|\leq \varphi(x)\quad(a.e.x\in G)

が成立するとする。このとき \displaystyle\int_GF(x,\ \xi)dx は \xi_j で偏微分可能で、

\displaystyle\frac{\partial}{\partial \xi_j}\int_GF(x,\ \xi)dx=\int_G\frac{\partial F}{\partial\xi_j}(x,\ \xi)dx

が成り立つ。

 

３-４．Fubiniの定理

 G_1 を \mathbb{R}^N 上ルベーグ可測集合、G_2 を \mathbb{R}^M 上ルベーグ可測集合とする。 f(x,\ y) は G_1\times G_2 上で定義された関数とする。f(x,\ y) が G_1\times G_2 上ルベーグ積分可能ならば

\displaystyle\int\int_{G_1\times G_2}f(x,\ y)dxdy=\int_{G_2}\left(\int_{G_1}f(x,\ y)dx\right)dy=\int_{G_1}\left(\int_{G_2}f(x,\ y)dy\right)dx

 

４．終わりに

測度論の講義はFubiniの定理などの重要な定理の紹介や使い方の説明で終わることが多い。Fubiniの定理の後に続く発展的な事項としてはRadon-Nikodymの定理が挙げられる。さらに解析系ならLebesgue空間やSobolev空間の理論やBochner積分、統計系なら確率論等が挙げられるが、それらはどの分野を専門にするかによって必要であったり必要でなかったりするので、何を勉強すればいいかは指導教員から指示があると思う。

 

最後に測度論、Lebesgue積分の参考になる本やサイトなどを挙げておく。また、私が学部４年の前期にLebesgue空間についてノート（PDF)があるのでほしい方は連絡ください。（2017年09月01日追記：PCをかえたら文字化けしてしまいました。よってPDFを渡すことができません。もし、何か聞きたいことがあったら遠慮なくコメント欄にコメントをください）

 

《 参考書 》

・『ルベーグ積分論』柴田良弘著

ルベーグ積分論

ルベーグ積分論

 

 私の指導教員である柴田先生の本。ほとんどいたるところ行間がない（行間がないということはそれだけ悩まずに読み進めることができる）。様々なことがかなり詳しく書いてある。特に本の後半は実解析を意識して書かれている。ところどころ誤植があるが、先生のホームページに訂正や補足についてのPDFが置いてある。

 

 ・『解析入門（６）』松坂和夫著

解析入門〈6〉 重積分/重積分の変数変換/微分形式とその積分/ルベーグ積分 (岩波オンデマンドブックス)

解析入門〈6〉 重積分/重積分の変数変換/微分形式とその積分/ルベーグ積分 (岩波オンデマンドブックス)

 

 定期試験前にざっと勉強したい人はこの本のルベーグ積分の章を勉強するのがいいと思う。薄いながらきっちり説明、証明が書いてある（ただし証明が大変な定理の証明は省略されている）。柴田著の『ルベーグ積分論』がハードだと感じる人はこの本がおすすめ。

 

・『物理・工学のためのルベーグ積分入門』松浦武信,高橋宣明,吉田正広著

物理・工学のためのルベーグ積分入門

物理・工学のためのルベーグ積分入門

 

 少し古い本だけれども、大学の図書館にはあるはず。この本はルベーグ積分とは何か、ということを「ざっくり」わかりやすく語り口調で書かれている。前提とする知識が少ないので、学部１年でも読むことはできると思う。ただし、「ざっくり」とした説明なので、ちゃんと勉強したい人には向いていない。

 

 ・『早わかりルベーグ積分』澤野嘉宏著

早わかりルベーグ積分 (数学のかんどころ 29)

早わかりルベーグ積分 (数学のかんどころ 29)

 

 最近出版された本。早くわかりそうに見えて実は結構難しい。特に証明はクセがあって私は読みにくかった。ただし証明の部分を読み飛ばせばわかりやすくまとまっているので、とりあえず結果だけ網羅したい人はこの本がおすすめ。薄い本の割には中身が濃い。

 

・"Real Analysis: Measure Theory, Integration, And Hilbert Spaces"  Elias M. Stein,Rami Shakarchi 著

Real Analysis: Measure Theory, Integration, And Hilbert Spaces (Princeton Lectures in Analysis)

Real Analysis: Measure Theory, Integration, And Hilbert Spaces (Princeton Lectures in Analysis)

 

 具体例が多くわかりやすい。洋書が苦でなければこの本で勉強するのがいいと思う。特に図が豊富である。柴田著の『ルベーグ積分論』と同様に実解析を意識した構成になっている。柴田著の『ルベーグ積分論』が Fourier Multiplier の理論をゴールとしているのに対して、この本はHilbert 空間の理論をゴールとしている。前提とする知識は少ないので、「超」意識高い学部１年とか２年はこの本にチャレンジしてもいいと思う。

 

・"Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications" Gerald B. Folland 著

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts)

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts)

 

 はっきりいって難しいが、どんな定理にもちゃんと証明がついている。特にルベーグ積分の極座標変換についてきちんと証明が書かれた本はこれだけだと思う。とはいえ、勉強する用の本ではないので、吉田耕作著の "Functional Analysis" と同様に、いざというときの辞書でいいと思う。

 

ちなみに、有名な伊藤清三著の『ルベーグ積分入門』、高木貞治著の『解析概論』はわかりにくいのでおすすめしません。

 

《 ウェブサイト 》

インターネットには測度論のPDFがいろいろ落ちているが中でも慶應大の服部先生のものが一番詳しくわかりやすいのでおすすめである。特に院試の問題についての問題、解答もアップされているのは大変ありがたい。

・講義ノート

http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/kaiseki1.pdf

・大学院入試問題と解答

大学院入試問題と解答，ルベーグ積分，服部哲弥

 

 

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。では。