べっく日記

偏微分方程式を研究してるセミプロ研究者の日常

研究進捗2016/12/31

・今週は論文読むことに専念したため、新しい結果はなかった。

・先生たちが書いた論文が意味不明だったので、その論文を引用してる論文を5つくらい参照することで概要をつかんだ。

・おかげで先生たちが書いた論文を第3章の途中まで読めた。

・研究集会に参加して(発表したわけではない)、新しくお友達を作ることはできなかったが、夏に知り合った九大の人とお話しした。彼らは頑張っているようなので私も頑張らねばならない。

 

<来週の目標 >

・論文を最後まで読む。

・読んでいる論文が半空間から一般領域への適用の仕方についてなので、今後の研究はそれと同様の手続きをとることになる。よって、解析したい方程式を「手続き」に従って書き換える。

・R有界性(R-boundedness)についての理論を少し忘れていたので、復習する。

 

 

有馬記念はお陰様できちんと3連単を的中することができました。人気通りの結果になってしまいましたが、それでもきちんと当てることが大事だと思います。さて、早いもので今日は大晦日です。我ながら今年はよく勉強した気がします。先生が冗談半分に頑張って9月に卒業しようと言ってきました。冗談を事実にするべく来年は今年の2倍は頑張りたいと思います。では。

研究進捗2016/12/23

・論文を読み漁って,エントロピー増大則について再考した.

・熱流束がフーリエ法則に従うとした場合,界面の jump condition が非線形になることがわかったので,それを避けるため,熱流束は以前と同様の仮定をした.

・内部エネルギー e は \rho, \nabla\rho, \theta の関数であると以前ゼミで仮定したが,その仮定は正しいことを論文で確認した.ここで\theta は温度である.

・さらに,内部エネルギー e の仮定は,すなわち流体の仮定は論文によって様々だが,いずれにせよ,\partial e / \partial (\nabla\rho)=\kappa\nabla\rho/\rho と仮定していることがわかった.

・以前ゼミで発表した内容が間違っていたので,修正した.これによりモデリングが(たぶん)終了した.

・先生にいただいた論文のうち,読んだことのなかった方の論文を第3章まで読むことを今週の目標としていたが,まだ2章のはじめまでしか読めていない.

 

<来週の目標>

・先生にいただいた論文を読み終え,方程式へのアプローチの仕方をマスターする.

・可能ならば,考えたい方程式にその手法を適用する.

・来週参加しようと思っている研究集会は学生が多いので,「お友達」を少なくとも一人作り,可能ならば連絡先も交換する.

 

 

明後日は有馬記念ですね.私の予想としては本命キタサンブラック,対抗サトノダイヤモンドですね.さらにサウンズオブアース,ミッキークィーン,シュヴァルグランあたりをおさえておけばいいような気がします.では.

23歳になりました。

先日は私の誕生日でした。お祝いのメッセージをくれた先輩や友人、後輩、また両親や祖父母に、この場を借りて改めて感謝申し上げます。

 

この前友人と話をして思ったことは、20歳まではきちんと自分の歳をカウントダウンするから自分が現在何歳なのか覚えているけれども、20歳を過ぎると飲酒をはじめとする制限が解除されるので、特に歳をわざわざ数えなくなるから現在自分が何歳なのかわからなくなるってことですね。

 

この前、誕生日を友人や家族に祝ってもらえて、ケーキも用意してくれたんですけど、この歳になるとろうそくの本数なんて気にしなくなりましたね。誕生日を祝ってくれる、それだけで十分嬉しいものです。

 

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〈 友人宅にて 〉

 

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〈 自宅にて 〉

 

誕生日に神様から「良い」閃きがプレゼントされたりするのかなと期待していましたが、残念ながら閃きませんでした。どうやら努力が足りないようです。今後はもっと頑張ろうと思います。

 

今週の日曜日はクリスマスですね。なんとこの日、有馬記念があるというではないですか。有馬記念は毎年1,3着は当てるのですが、2着を外しています。今年こそはきちんと2着も当てて、3連単を取り、その払い戻しで自分にクリスマスプレゼントを買おうと思います。

 

研究の進捗は金曜日に更新します。では。

研究進捗2016/12/15

・今週のゼミはキャンセルになった。その代わり先生や助教などと1時間ほど議論した。ゼミがキャンセルになったのはもしかしたら先生がライブ直前だからかもしれない。

統計力学については知りたいことが載っている本が無かったのでほとんど勉強しなかった。

・適切な条件を課すことにより線形化出来なかった界面の方程式を線形化することができた。

・方程式が1つ足りない可能性が大きいことが判明した。これは熱流束が通常のフーリエ法則を満たしていると仮定し、エントロピー増大則が成立させるための条件を考察することにより解決するだろう。解決すれば、熱流束がフーリエ法則を満たしていない現時点での結果を「改良」したことになる。

・今後の方程式を解析する上での「心」を先生から教えてもらった。いろいろ教えてもらったが結局は先生が昔書いた論文を読めとのことだった。

 

<来週の目標>

・先生から読まないといけない論文を2つ紹介してもらった。そのうち1つはざっと読んだ事のある論文だったので、来週の水曜日までに精読する。他方の論文も同時並行して読み、第3章の終わりまでを土曜日までに精読する。

 

・論文の精読が終了次第、モデリングを再考する。

 

 

先日松屋で初めてカレー食べたんですけど、牛丼より美味しいですね。それ以来時々松屋でカレー食べてます。松屋のカレーは少しスパイシーで、しかも牛丼より安い。でもなんでカレーに味噌汁がついてくるのかは謎です。松屋はとにかく味噌汁をつけたがりますね。まあ、美味しいので今度松屋行ったら牛丼ではなくカレーを頼んでみてください。では。

仮免許を取得した。

こんばんは。すっかり冬って感じですね。先日手袋をいただいたのですが、手袋ってこんなにも暖かいんですね。

 

さて、一昨日の日曜日に仮免の学科試験があり、無事にパスすることができた。これで仮免許を取得し、いよいよ路上で教習である。

 

当初の免許取得目標は年内だったけれども、まあ無理だろう。混み始めていることを考慮すれば、2月上旬に卒業検定が終わるのが現実的な目標なのかな。

 

1月の中旬までなら空いてるだろうと高をくくってたが、もうすでに混み始めている。特に高校生が増えた。たぶん冬休みっぽいやつなんだろうね。でも、午前中は空いているから、午前中にせっせと通えば早めに取れたりするのかな。

 

とりあえず、研究と教習所を両立しつつそろそろ部屋を大掃除したいと思います。

 

p.s

今日の研究において大変素晴らしい進捗を得た。まだ計算メモにしか書いてないのでそれをまとめて今度のゼミで発表する。結局、「物理的な意味付け」はそれほど意味を成さなかったし、熱流束の仮定も変えずに済んだ。これについてはゼミが終わったあと研究進捗を更新する。

研究進捗2016/12/9

・先週発表した内容をすべてLaTeXにまとめた.

・流体の界面を「大きく」見た.これによりまずは境界条件は無視することができ,流体内の方程式と界面の方程式のみを考えた.

・界面の法線ベクトル,平均曲率を計算し,それを線形項と非線形項に分けた.

・界面が時間によって変わってしまうため,「適切な」座標変換を行うことで界面を固定した.

・方程式が非線形なので,それを線形化した.すなわち,方程式のうち,線形項を左辺に,非線形項を右辺に移項した.

・しかし,界面の方程式のうち一つが,線形化できなかった.これはモデリングにおいて熱流束(Heat Flux)の仮定を間違えていることが原因と考えられる.

 

<来週の目標>

助教のとなりの机の研究員にNavier-Stokes-Korteweg system のモデリングに関する最近の論文を頂いたので,これを参考に先週までに導出した式が「物理的な意味付け」が可能なのか,チェックする.場合によってはモデリングをやり直す.

 

統計力学をもう一度勉強する.特に相転移に関する物理法則を勉強する.

 

 

最近風邪が流行っているようです.私は2年に1回くらいしか風邪をひきませんが,バカだから風邪をひかないんだと言われないようにもっと頑張りたいと思います.まずは仮免の学科試験ですね.頑張ります.では.

よくわかるN次元の極座標変換。

おはようございます.今日もいい天気ですね.

 

最近,極座標変換について講義で詳しく説明されたことないなあ,とふと思った.もちろん,3次元の場合までは講義でやるけれども,N次元の場合は記憶が正しければ教わったことはない気がする.そこで今回はN次元の場合の極座標変換について説明することにする.

 

x\in\mathbb{R}^N として,

x_1=r\cos\theta

x_2=r\sin\theta\cos\varphi_1

x_3=r\sin\theta\sin\varphi_1\cos\varphi_2

・・・

x_{N-1}=r\sin\theta\sin\varphi_1\cdots\sin\varphi_{N-3}\sin\varphi_{N-2}

x_N=r\sin\theta\sin\varphi_1\cdots\sin\varphi_{N-3}\cos\varphi_{N-2}

0\leq \theta,\varphi_1,\dots,\varphi_{N-3}\leq\pi0\leq\varphi_{N-2}\leq2\pi

とおく.

このときのJacobianは

r^{N-1}\sin^{N-2}\theta\sin^{N-3}\varphi_1\cdots\sin\varphi_{N-3}

となるので,

dx=r^{N-1}\sin^{N-2}\theta\sin^{N-3}\varphi_1\cdots\sin\varphi_{N-3}drd\theta d\varphi_1\cdots d\varphi_{N-2}

である.

これは N=2,3 のとき成り立つことはよく知られているから,N\geq 3 として数学的帰納法により示すことができる.この証明のアイディアとしては,まず直交座標から円柱座標に変換し,その次に円柱座標から極座標に変換すればよい.この説明がわかりやすいサイトとして

wasan.hatenablog.com

が挙げられる.一応杉浦光夫著の『解析入門II』にも記述があるが,初学者にとっては説明が難しく感じられると思う.

 

ここで,半径 r のN-1次元単位球面 S^{N-1}=\{x\in\mathbb{R}^N||x|=1\} の表面積 \Omega_{N-1} は,Gamma関数 \displaystyle\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx を用いて

\displaystyle\Omega_{N-1}=\frac{2\pi^{N/2}}{\Gamma(N/2)}

と表せることが知られている.

ゆえに関数 f(x)|x|=r のみの関数で f(x)=g(r) と表せるとき,

\displaystyle\int_{\mathbb{R}^N}f(x)dx=\Omega_{N-1}\int_0^\infty g(r)r^{N-1}dr

積分を書き換えることができる.

 

ルベーグ積分の場合のこの証明として

が挙げられる.

 

さて,昨日修了検定があって無事パスしました.今度の日曜日仮免の学科試験があるので,研究と両立して勉強したいと思います.では.