よくわかるフーリエ変換。

今日は暑い．ということで，カキ氷のシロップを買いに行ったが，まだ売ってなかった．少々気が早かったみたい．

さて，最近ブログを更新できていないから，そろそろ更新しようと思って，いまパソコンにむかっています．こつこつ書いていた研究進捗ですが，4月から研究ノートを（初めて！）作るようになり，わざわざブログに書く必要がなくなったので，今後は不定期に更新します．

ところで，ついさっき，ちょうど去年フーリエ級数について書いたのを思い出した．

watanabeckeiich.hatenablog.com

この記事を書いたあと，フーリエ変換について書こうと思っていたけれども，すっかり忘れていました．最近，Twitter を見ていると，フーリエ級数とフーリエ変換の違いについて活発に（？）議論されているようなので，今日はフーリエ変換の定義について説明しようと思う．もちろん，フーリエ変換の持つ性質はバラエティーに富んでいるが，ここで説明すると長くなるので，やめておきます．

【目次】

1. Why フーリエ変換?
2. フーリエ変換の定義
3. フーリエ変換を偏微分方程式にどう使うか
4. 参考文献

1. Why フーリエ変換?

フーリエ級数とは何かを思い出そう．フーリエ級数は周期関数に対して考えられるものであった．周期 $2\pi$ の周期関数 $f (t)$ は

$\displaystyle f (t) = \sum_{n = -\infty}^\infty c_n e^{i n t},$

$\displaystyle c_n (t) := \frac{1}{2\pi} \int_{- \pi}^\pi e^{-int} f (t) \mathrm{d} t$

と書けるのであった．特に，周期が $T$ であれば，

$\displaystyle f (t) = \sum_{n = -\infty}^\infty c_n e^{i n \omega t}$

と書くことができる．ここで， $\omega = 2\pi /T$ は周波数を表す．つまり，周期関数 $f(t)$ は単振動 $e^{i\omega n t}$ の重ね合わせで表現できるというのがフーリエ級数の意味することであった．

もし， $f(t)$ が実数直線上 $\mathbb{R}$ で定義された関数で，しかも周期的かどうかわからない場合に対してもフーリエ級数展開が成り立つのか？というのがフーリエ変換のモチベーションである．

2. フーリエ変換の定義

勝手な有限区間 $a \leq t \leq b$ で定義される関数 $f (t)$ は変数変換

$\displaystyle t = \frac{b-a}{2\pi}t'$

により，周期が $2\pi$ である関数 $f(t')$ に変換することができる．実際に，

$\displaystyle \frac{2a}{b-a}\pi \leq t' \leq \frac{2b}{b-a} \pi$

である．よって，

$f(t) = \displaystyle f\bigg( \frac{b-a}{2\pi}t'\bigg) = g(t')$

とおけば，形式的に

$\displaystyle g(t') = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \bigg(\int_{\frac{2a}{b-a}\pi}^{\frac{2b}{b-a} \pi} e^{-in r'} g(r') \mathrm{d}r' \bigg) e^{i n t'} ,$

すなわち，

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{b-a} \sum_{n=-\infty}^\infty \bigg(\int_a^b e^{-i \frac{2\pi n r}{b-a}} f (r) \mathrm{d} r \bigg) e^{i \frac{2\pi n t}{b-a}}$

と書くことができる．ここで， $b-a$ は有限であることに注意しよう（有限でないと上式は無意味になる）．

ここで， $b-a$ は非常に大きいとして，

$\displaystyle s = \frac{2\pi n}{b-a}$

を考える．いま， $n$ は整数であるから， $\Delta n = (n+1) -n =1$ とおくと，

$\displaystyle \frac{1}{b-a} = \frac{\Delta n}{b-a} = \frac{\Delta s}{2\pi}$

であるから， $f(t)$ は

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \sum_s e^{ist} \Delta s \int_a^b e^{-irs} f(r) \mathrm{d} r$

と書ける．これに対して， $a\to -\infty$ , $b\to \infty$ とした極限を考え，さらに和 $\sum$ を積分に置き換えることにより得る式：

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ist} \mathrm{d} s \int_{-\infty}^\infty e^{-irs} f(r) \mathrm{d}r$

を $f(t)$ のフーリエ積分という．このフーリエ積分が収束するためには，関数 $f(t)$ に条件を少し課す必要があるが，ここでは言及しない．

さて， $f(t)$ は

$f(t) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ist} \bigg(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ir s} f(r) \mathrm{d}r \bigg)\mathrm{d} s$

と書くことができる．このとき，

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ir s} f(r) \mathrm{d}r$

を $f(t)$ のフーリエ変換といい， $\mathcal{F}[f](s)$ と書く．よって， $f(t)$ は

$\displaystyle f(t) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ist} \mathcal{F}[f](s)\mathrm{d} s$

と書ける．関数 $g$ に対して，そのフーリエ逆変換 $\mathcal{F}^{-1}[g](t)$ を

$\displaystyle \mathcal{F}^{-1}[g](t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ist} g(s)\mathrm{d} s$

と定義すれば，結局，

$f(t) = \mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[f]](t)$

を得る．これは，関数 $f$ にフーリエ変換して，さらに逆変換すればもとに戻るということを表す．これを反転公式という（もちろん，このときも $f$ に条件が必要だが，ここでは言及しない）．もちろん，順番を変えた

$f(t) = \mathcal{F}[\mathcal{F}^{-1}[f]](t)$

も成り立つ．

ここでは，簡単のために，1次元の場合についてのみ説明したが， $N$ 次元の場合も同様に定義することができる．実際に，関数 $f (x)$ に対して，そのフーリエ変換 $\mathcal{F}[f](\xi)$ およびフーリエ逆変換 $\mathcal{F}^{-1}[f](\xi)$ をそれぞれ

$\displaystyle \mathcal{F} [f] (\xi) = \frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\mathbb{R}^N} e^{- i x \cdot \xi} f(x) \mathrm{d}x$

$\displaystyle \mathcal{F}^{-1} [f] (\xi) = \frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\mathbb{R}^N} e^{- i x \cdot \xi} f(x) \mathrm{d}x$

と定義する．ただし， $f (x)$ は $\mathbb{R}^N$ 上可積分関数である．

もし， $\mathbb{R}^N$ 上可積分でない関数 $f(x)$ をフーリエ変換（フーリエ逆変換）をしたい場合は，超関数を導入する必要がある．これについては，例えば，

ogyahogya.hatenablog.com

がわかりやすいと思う．

3. フーリエ変換を偏微分方程式にどう使うか

フーリエ変換の定義がなんとなくわかったところで，フーリエ変換を実際に用いることを考えよう．いま，簡単のため熱方程式を考える（簡単に考えたいので，以降「変なこと」は生じないと仮定する）．ユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ における熱方程式は，点 $x\in\mathbb{R}^N$ ，時刻 $t\geq 0$ での温度を $u(x,t)$ と表せば，

$\displaystyle \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} - \Delta u(x,t) = 0,$

$u (x,0) =f(x)$

と書くことができる．ただし， $x\in\mathbb{R}^N$ は空間変数， $t\geq 0$ は時間変数であり， $f$ は $t=0$ での初期温度分布， $\Delta = \displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$ はラプラス作用素を表す．