2018-07-22

夏休みに読みたい漫画4選。

本の紹介

7月も終盤に差し掛かり、学生も社会人も、夏休みも間近って人は多いと思う。

では、夏休みどこか出かけようと思っても、連日の猛暑で出かける気が失せてしまうかもしれない。そこで、ここでは、インドアでも楽しめる、漫画を紹介することにして、夏休みの楽しみ方の一つを提案したい。

ここでは、「面白い」漫画を紹介したいと思う。特に、ワンピースやコナンといった、めちゃくちゃ長くて面白いものは避け、短いくて面白いけど、それほどメジャーでないものを紹介しようと思う。チョイスは完全に私の好みなので、合わなかったらごめんなさい。

1. 神様のバレー

神様のバレー

作者: 西崎泰正,渡辺ツルヤ
メディア: Kindle版
この商品を含むブログを見る

バレーボールの漫画。万年1回戦負けの中学校に実業団バレーボールチームの凄腕のアナリスト（試合分析のプロで、監督に作戦を提案する人）阿月がやってきて、1年で全国制覇を目指す漫画。阿月は中学校の全国制覇と引き換えに全日本男子バレーボールチームの監督を約束され、一生懸命（？）指導して、万年1回戦負けの中学校を鍛え上げていく漫画。

スポーツ漫画にありがちな、「友情」「努力」「根性」とは程遠い漫画で、スポーツ漫画っぽくないスポーツ漫画。いかに勝つかにフォーカスされていて、強かな（ずる賢い）作戦がいろいろある。とはいえ、バレーボール未経験者でも楽しめるのがこの漫画のいいところだと思う。個人的には、ハイキューよりも面白いと思う。

2. ライアーゲーム

LIAR GAME (1) (ヤングジャンプ・コミックス)

作者: 甲斐谷忍
出版社/メーカー: 集英社
発売日: 2005/09/16
メディア: コミック
クリック: 102回
この商品を含むブログ (181件) を見る

この漫画はお金を掛けた「ゲーム」をする漫画。ゲームに負けたからといって賞金が必ずしもマイナスになるわけではないし、逆に勝ったからといって賞金が必ずプラスになるわけではない、というのがこの漫画の面白いところである。ゲームを進めていく上で、交渉力が問われるわけだが、この交渉がなかなか面白い。頭を使わないと読んでもわからないところはあるけれども、デスノートほどではないと思う。この手の漫画は途中グダッてしまうことが多いが、この漫画は最後までしっかり楽しめる、希少な漫画だと思う。

実は、10年くらい前にドラマ化されているが、原作（漫画）を読んだことがあるって人は少数な気がする。ドラマはドラマで面白いと思うけど、個人的には漫画の方をオススメしたい。というのも、ドラマと漫画でコンセプトもシナリオもかなり異なる気がする。

3. 自殺島

自殺島 1 (ジェッツコミックス)

作者: 森恒二
出版社/メーカー: 白泉社
発売日: 2013/06/10
メディア: Kindle版
この商品を含むブログ (3件) を見る

自殺未遂常習者が無人島、自殺島を舞台に、命と向き合いながら生きていくお話。簡単に言ってしまえば、サバイバル漫画ということになるけど、そんな単純なストーリーではないのが、この漫画の面白いところ。

自殺島は国の管轄外の島なので、ある意味無法地帯。そこで、互いがうまく生きていくためにさまざまなルールが出来上がる。「ああ、こういう風にして村ができ、国ができあがったんだな」と思わせられる点もこの漫画のおもしろさの一つ。命の尊厳さ、生きることの意味を（暗に）説いてくれる、そんな漫画。一生に一度は読んでおきたい。

4. 瑠璃宮夢幻古物店

瑠璃宮夢幻古物店： 1 (アクションコミックス)

作者: 逢坂八代
出版社/メーカー: 双葉社
発売日: 2014/06/30
メディア: Kindle版
この商品を含むブログを見る

不思議な力を秘めたさまざまな古物をテーマとする漫画。一つの古物をテーマに、ストーリーがだいたい1〜2話で完結する漫画。イメージ的にはドラえもんに近いけども、ドラえもんと異なる点は、この漫画の方が人間の腹黒さが現れている点だと思う。ドラえもんの場合は笑えるバッドエンドが多いけども、この漫画の場合は、笑えないバッドエンドが多い。

また、古物を通じて、「幸せとは何か」「人間関係の大切さ」などが書かれている気がする。ストーリーの展開が読めそうで読めないのがこの漫画のおもしろさかもしれない。あまりメジャーではないけれども、ぜひ読んでほしい漫画。一度読んだら病みつきになると思う。

暑い日が続いていますが、体調には気をつけてお過ごしください。では。

2018-07-02

蒙古タンメン中本「汁なし麻辛麺」を食べてみた。

その他

蒙古タンメン中本「汁なし麻辛麺」を食べてみた。これはセブンイレブンで発売されているが、売り切れていることが多く、なかなか手に入れることができなかった。

f:id:watanabeckeiich:20180701234021j:image

スペックを確認しておくと、

定価: 321円（税込）

熱量: 551kcal（1食350gあたり）

たんぱく質: 17.8g

脂質: 21.3g

炭水化物: 72.0g

食塩相当量: 3.2g

となっている。カップ麺に比べたら健康的な感じはする。

開封してみる。

f:id:watanabeckeiich:20180701234026j:image

ぱっと見はパスタ。温めてみる。

f:id:watanabeckeiich:20180701234035j:image

匂いは中本の麻婆丼な感じ。辛いソースをとりあえず全部かけてみる。

f:id:watanabeckeiich:20180701234041j:image

食べてみる……

f:id:watanabeckeiich:20180702092147j:image

……

「あっ、これは中本」という味だった。ふつうにおいしい。辛さはふつうくらい。お店の中本の方がやや辛い感じはする。麺はお店よりも太め。ただ、カップ麺のやつとは違い、麺にもちもち感がある。

個人的な感想としては、冷凍食品としてはやや高めだし、あくまでも「汁なし麻辛麺」なので、「北極」のような辛くて汁も味わいたい場合はカップ麺の方がいいような気がした。でも、また食べてみたい、そんな商品であった。

2018-06-17

オリエンテーションに参加して来た（2018）。

その他

今日、昨日と学部3年生を対象とした、数学科応用数理学科のオリエンテーションにTAとして参加して来た。

場所は軽井沢のセミナーハウス。この場所に来るのは去年ぶりである。

オリエンテーションに参加して来た。 - べっく日記

あれから1年も経つのかあと思うと時の流れを早く感じます。ここに来たのがつい先週のように感じる。なんとも不思議な感覚だ。

去年とは違って、テニスをやる時間が少し長かった。1年ぶりのテニスです。思ったよりは打てた。楽しかったです。ちなみに、去年はグリップテープがボロボロだったけれども、今年はマシになってた。

夜の懇親会では、ビールを美味しくいただいた。日本酒をもらいそびれたのが残念。去年の場合は、先生や先輩方と主に会話してたけれども、今年は3年生の相談ーー特に、研究室の選び方についてお話した。これについては、

研究室の選び方。 - べっく日記

を参照してくれって言おうと思ったけど、ツイッターのアカウントがバレたら恥ずかしいので、結局、

1. 研究室の飲み会の雰囲気

2. 研究内容（興味が湧くか湧かないか）

3. OBOGの進路

で決めようって言った。参考になるかはわかんないけど、一応先輩っぽく助言した（つもりである）。

なんかみんな研究室を「悩んでいる」のであって、「考えている」わけではないのかなって感じがした。まあ、3年生で研究内容が理解できるって方がすごいような気がする。

そういえば、「研究室は楽なところがいいです！」っていう素直な人がいた。うん、素直でとてもいいと思う。ただ、個人的には楽な研究室よりも「楽しい」研究室を選ぶ方がいいような気がした。楽しければ多少大変なことも頑張れる気がする。

自分が学部3年生のときを思い出すと、この時期は大会のレセプションの準備したりしてて大変だった気がする。今度昔の日記でも開こうかな。それに比べるとオリエンテーションに参加してた学生はきちんと将来のことを考えていてすごいなあって思った。

オリエンテーションを通じて、ほかの研究室の人と仲良くなれたらいいなあって思ったけど、一緒の部屋で過ごしたひとの名前を残念ながら確認してなかった。残念すぎる。

まあ、何はともあれ、今年も（個人的に）楽しく参加できたような気がする。最後に、みなさんお疲れ様でした！そして、幹事のUさんありがとうございました！

2018-06-09

よくわかるナビエ・ストークス方程式ーver. 2。

よくわかるシリーズ

ここ3週間くらい研究が進んでいなかったんですが，ついさっき良い進捗（半群の exponential decay estimate）を得たので，暇つぶしに記事を更新しようと思います．先輩にアウトリーチ活動は大切と言われたので，しっかり実行しようと思います．さすがに土日に論文を書きたくないのです...

さて，弊ブログの記事のアクセスランキングを見ると第2位がナビエ・ストークス方程式になっています．閲覧いただきありがとうございます．
watanabeckeiich.hatenablog.com

以前サークルの後輩に「ナビエ・ストークス方程式について調べたらべっくさんのブログが出てきましたよ」と言われたことがある．この記事を書いた当初は，数学専攻の読者を想定して書いたが，どうやら工学系の人も見ているみたいだ．そこで，今日は，前よりも物理的な説明を加え，実際にナビエ・ストークス方程式を（簡単に）導出しようと思う．

【目次】

1. 応力
2. 平衡方程式
3. 体積モーメント
4. 主応力
5. 等方応力・偏差応力
6. 変形速度テンソル
7. ナビエ・ストークス方程式の導出
8. 参考書

1. 応力

まずは，応力について考えよう．固体（例えば氷など）に外力が作用すると，固体は変形し，その内部にない力が発生する．ここでは，固体の変形が小さいと仮定しよう．いま，内力について考察したいので，固体内部の図形の面積・方向などの変化は小さいとして無視しよう．すなわち，物体の点は移動しないとして内力を考察する．

固体への外力の作用は

① 圧力や支持力のように，固体の境界面を通じて固体の各部分に間接的に作用する力

② 重力のように境界面を通じてではなく，固体の各部分に直接的に作用する力

の2通りが考えられる．① の力を表面力 (surface force) といい，これは境界面の単位面積当たりの量として定義されるベクトル量である．一方，② の力を体積力 (volume force) といい，単位体積当たりの量として定義されるベクトル量である．

表面力を $\mathbf{T}(\mathbf{n}) dS$ としたとき， $\mathbf{T}(\mathbf{n})$ を応力テンソルという．ここで，境界面を $S$ ，単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ ，単位面積を $dS$ とした．応力テンソルは，境界面上の点 $P$ と単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を指定すると決定される．また，作用・反作用の法則より $\mathbf{T}(-\mathbf{n})= - \mathbf{T}(\mathbf{n})$ が成り立つ．

2. 平衡方程式

ここでは，固体が体積力 $\mathbf{f}$ の作用のもとで運動しているする．また，固体の密度を $\rho$ とし，固体内に任意の領域 $V$ をとる．領域 $V$ の境界面 $\partial V$ の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を $V$ の外側に向けてとるものとする．

領域 $V$ が受ける力は

・表面力： $\displaystyle \int_{\partial V} \mathbf{T}(\mathbf{n})\, dS,$

・体積力： $\displaystyle \int_V \mathbf{f} \, dV$

の2つである．また，領域 $V$ の慣性力は $\displaystyle \int_V \rho \mathbf{a} \, dV$ である．ここで， $\mathbf{a}$ は固体の各部分の加速度を表す．したがって，領域 $V$ における運動方程式（運動量保存則）は

$\displaystyle \int_{\partial V} \mathbf{T}(\mathbf{n})\, dS + \int_V \mathbf{f} \, dV = \int_V \rho \mathbf{a} \, dV$

と書ける．ガウスの発散定理と $\mathbf{f}= f_i e_i$ , $\mathbf{a}=a_i e_i$ , $\mathbf{T}(\mathbf{n})=(\sigma_{ij} n_j)e_i$ より

$\nabla_j \sigma_{ij} + f_i - \rho a_i=0$

が成り立つ．これを平衡方程式 (equation of equilibrium) という．特に，固体が静止している場合は， $a_i=0$ より

$\nabla_j \sigma_{ij} + f_i=0$

が成り立つ．

3. 体積モーメント

電場内で誘電体が影響を受ける場合，あるいは磁場内で磁性体が影響を受ける場合などでは，固体の各部分がモーメント（= 物体を回転させる力）を受けることがある．このとき，単位体積当たりに働くモーメントはベクトル量である．このベクトル量を体積モーメントといい $\mathbf{M}$ で表す．

上で説明した平衡方程式と角運動方程式を用いると

$\varepsilon_{ijk} \sigma_{kj} + M_i = 0$

を得る．ここで， $M_i$ は体積モーメント， $\sigma_{kj}$ は応力テンソル， $\varepsilon_{ijk}$ は $\varepsilon$ テンソル，すなわち，

$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} 1 & \text{($(i,j,k)$ が偶順列),}\\ -1 & \text{($(i,j,k)$ が奇順列),}\\ 0 & \text{($i,\,j,\,k$ のうち等しいものがある)}\\ \end{cases}$

である．特に，体積モーメント $\mathbf{M}$ が 0 であれば，応力テンソルは対称テンソル，すなわち $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$ である．

4. 主応力

固体内の点を通る微小面分 $dS$ をとり， $\mathbf{n}$ を微小面分 $dS$ の単位法線ベクトルとする．この微小面分を通じて作用する応力ベクトル $\mathbf{T}(\mathbf{n})$ の $\mathbf{n}$ 方向への成分： $\widetilde{\mathbf{T}}(\mathbf{n}) = \mathbf{n} \cdot \mathbf{T} (\mathbf{n})$ を $\mathbf{n}$ 方向の垂直応力という．

応力テンソルを $\sigma_{ij}$ とすると $\mathbf{T}(\mathbf{n}) = \sigma_{ij} n_j e_i$ であるから， $\mathbf{n}$ の第 $i$ 成分を $n_i$ とすれば，

$\widetilde{\mathbf{T}}(\mathbf{n}) = \sigma_{ij} n_i n_j,$

$n_i n_j =1$

である．微小面分 $dS$ 上の点 $P$ を固定し，単位ベクトル $\mathbf{n}$ を変化させたときの $\widetilde{\mathbf{T}}(\mathbf{n})$ の極値を点 $P$ での主応力といい， $\widetilde{\mathbf{T}}(\mathbf{n})$ が主応力となるような $\mathbf{n}$ の向きを点 $P$ における主方向という．

主応力は応力テンソル $\sigma_{ij}$ （ $\sigma_{ij}$ は対称テンソル）の固有値であり，主方向は各々の主応力（固有値）に対する $\sigma_{ij}$ の固有ベクトルの向きを表す．よって，ある点 $P$ における応力テンソルの互いに垂直な3つの主方向を座標軸とする直交座標系に関して，応力テンソルの成分は

$\displaystyle (\sigma_{ij}) = \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_3 \end{pmatrix}$

と書ける．ここで， $\sigma_1,\, \sigma_2,\, \sigma_3$ は主応力である．

5. 等方応力・偏差応力

応力テンソル $\sigma_{ij}$ のトレース $\sigma_{ii}$ は不変量である．主応力を $\sigma_1, \, \sigma_2, \, \sigma_3$ とすれば， $\sigma_{ii} =\sigma_1 +\sigma_2 +\sigma_3$ である．そこで，

$p = \displaystyle \frac{1}{3}\sigma_{ii} = \frac{1}{3} (\sigma_1 +\sigma_2 +\sigma_3)$

を等方テンソル（hydrostatic stress）という．さらに， $\delta_{ij}$ をクロネッカーのデルタとして， $S_{ij}$ を

$S_{ij} = - p \delta_{ij} + \sigma_{ij}$

と定義する．このとき， $S_{ij}$ を偏差応力（deriatoric stress）という．ここで，応力テンソル $\sigma_{ij}$ と偏差応力 $S_{ij}$ の主方向は一致している．

6. 変形速度テンソル

一般に，流体の応力 $\mathbf{T}(\mathbf{n})$ は流体の速度の空間的な変化 $\displaystyle \frac{\partial u_i}{\partial x_j}$ によって引き起こされると考えられている．すなわち， $\sigma_{ij}$ は $\displaystyle \frac{\partial u_i}{\partial x_j}$ の関数である．ここで，ベクトル値関数 $\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)$ の微分 $\nabla \mathbf{u}$ を

$\nabla \mathbf{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z}\\ \frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix}$

と定義する．このとき， $\nabla \mathbf{u}$ の反対称部分・対称部分をそれぞれ

$\displaystyle \mathbf{G}(\mathbf{u}) =\frac{1}{2}(\nabla \mathbf{u} - {}^\top\!(\nabla \mathbf{u})),$
$\displaystyle \mathbf{D}(\mathbf{u}) =\frac{1}{2}(\nabla \mathbf{u} + {}^\top\!(\nabla \mathbf{u}))$

とおくと， $\nabla \mathbf{u} = \mathbf{G}(\mathbf{u}) + \mathbf{D}(\mathbf{u})$ と書くことができる．ここで， $\mathbf{D}(\mathbf{u})$ を変形速度テンソルといい，対称行列である．応力 $\mathbf{T}(\mathbf{n})$ は変形速度テンソル $\mathbf{D}(\mathbf{u})$ からのみ引き起こされることが知られている．

7. ナビエ・ストークス方程式の導出

さて，以上の準備を経て，ようやくナビエ・ストークス方程式の導出を説明することができる．以下， $\rho$ を流体の密度， $\mathbf{u}$ を流体の速度場， $\mu$ をずり粘性係数， $\zeta$ を体積粘性係数とする．ただし， $\rho , \, \mu, \, \zeta > 0$ を仮定する．

ここでは導出しないが，流体の質量保存則に当たる連続の式が成り立つことが知られている：

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \rho + \mathrm{div}\, (\rho \mathbf{u}) =0 .$

また，流体はニュートン流体であると仮定する．このとき，応力テンソル $\sigma_{ij}$ は

$\sigma_{ij} = 2 \mu D_{ij}(\mathbf{u}) + \zeta (\mathrm{div}\,\mathbf{u}) \delta_{ij}$

と書けることが知られている．これは，応力 $\sigma_{ij}$ が体積保存の変形運動に起因する成分 $2 \mu D_{ij}(\mathbf{u})$ と体積変化に起因する等方成分 $\zeta (\mathrm{div}\,\mathbf{u}) \delta_{ij}$ の線形結合で表されることを示している．ここで， $(D_{ij}(\mathbf{u}))_{ij} = \mathbf{D}(\mathbf{u})$ は変形速度テンソルである．これより，運動量流束テンソル $P_{ij}$ を

$P_{ij} = \rho u_i u_j + p \delta_{ij} - \sigma_{ij} = \rho u_i u_j + S_{ij}$

と定義すると，次の運動量保存則を得る：

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} (\rho u_i) + \frac{\partial}{\partial x_j} ( \rho u_i u_j + p \delta_{ij} - \sigma_{ij}) = \rho f_i$

なぜ，運動量流束テンソルを上のように定義したかについては後述の流体力学のテキストを参照のこと．連続の式を使って式を整理すると

$\displaystyle \rho \bigg( \frac{\partial u_i}{\partial t}+ u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j } \bigg)= -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j} \sigma_{ij} + \rho f_i$

を得る．

さて，ずり粘性係数 $\mu$ および体積粘性係数 $\zeta$ は一般には圧力 $p$ や温度 $\theta$ の関数であり，定数でない．しかし，多くの場合に変化が少なく，定数と見做せる場合が多い．係数 $\mu,\, \zeta$ が定数のときは，

$\begin{align*}\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_j} \sigma_{ij} &= \mu \bigg(\frac{\partial^2}{\partial x_j^2} u_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial u_j}{\partial x_j} -\frac{2}{3}\frac{\partial}{\partial x_i} (\mathrm{div}\,\mathbf{u}) \bigg)+ \zeta \frac{\partial}{\partial x_i}D\\ &= \mu \Delta u_i + \bigg(\frac{1}{3} \mu + \zeta \bigg)\frac{\partial}{\partial x_i}(\mathrm{div}\,\mathbf{u})\end{align*}$

と計算できる．これを運動量保存の式に代入すれば，

$\displaystyle \rho \bigg( \frac{\partial u_i}{\partial t}+ u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j } \bigg)= -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \mu \Delta u_i + \bigg(\frac{1}{3} \mu + \zeta \bigg)\frac{\partial}{\partial x_i}(\mathrm{div}\,\mathbf{u}) + \rho f_i$

を得る．これをベクトル表記に直すと

$\displaystyle \rho \bigg( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+ (\mathbf{u} \cdot\nabla) \mathbf{u} \bigg)= - \nabla p + \mu \Delta \mathbf{u} + \bigg(\frac{1}{3} \mu + \zeta \bigg)\nabla(\mathrm{div}\,\mathbf{u}) + \rho \mathbf{f}$

を得る．これと連続の式をあわせた

$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial t} \rho + \mathrm{div}\, (\rho \mathbf{u}) &=0,\\ \displaystyle \rho \bigg( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+ (\mathbf{u} \cdot\nabla) \mathbf{u} \bigg) &= - \nabla p + \mu \Delta \mathbf{u} + \bigg(\frac{1}{3} \mu + \zeta \bigg)\nabla(\mathrm{div}\,\mathbf{u}) + \rho \mathbf{f} \end{align*}$

をナビエ・ストークス方程式（Navier-Stokes equations）という．

特に，流体が非圧縮，一様密度の場合，すなわち， $\mathrm{div}\,\mathbf{u} =0$ のときは式がもう少し簡単になる．実際に，密度 $\rho$ は正定数 $\rho_0$ になるので，方程式は

$\begin{align*} \mathrm{div}\, \mathbf{u} &=0,\\ \displaystyle \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+ (\mathbf{u} \cdot\nabla) \mathbf{u} &= - \nabla \bigg( \frac{p}{\rho_0} \bigg) + \nu \Delta \mathbf{u} + \rho \mathbf{f} \end{align*}$

となる．通常これをナビエ・ストークス方程式ということが多い．ここで， $\displaystyle\nu = \frac{\mu}{\rho_0}$ は動粘性係数である．これに対してさっきの粘性係数 $\mu$ を力学的粘性係数という．これは， $\mu$ が粘性摩擦力の係数となるからである．

8. 参考書

私は流体力学の授業を受けたことがないので，独学で流体力学の知識を得た（つもりです）．そのときに参考になった参考書を挙げておく．

・神部勉著「流体力学」
知りたかったことがコンパクトにまとまっていて，大変参考になった．いまでもたまに参考にする．数学専攻の人はこの本で十分だと思う．

流体力学

作者: 神部勉,石井克哉
出版社/メーカー: 裳華房
発売日: 1995/09/01
メディア: 単行本
クリック: 4回
この商品を含むブログを見る

・巽友正著「流体力学」
これも丁寧でわかりやすかった．ただ，神部先生の本の方が薄かったので，この本はあまり読んでない．神部先生の本でわからなかったことを調べるのに使用した．

流体力学 (新物理学シリーズ)

作者: 巽友正
出版社/メーカー: 培風館
発売日: 1995/09/01
メディア: 単行本
購入: 1人クリック: 1回
この商品を含むブログ (1件) を見る

・今井功著「流体力学（前編）」
いろいろ詳しかった．等角写像を使った流体の解析が詳しく載っていた．ただ，等角写像を使った解析はどうやら時代遅れらしいので，あんまり一生懸命勉強する必要はないのかもしれない（あんまり勉強してないのでえらそうなことはいえませんが...）．前編があるなら後編もあるはずだと思って，一生懸命探したけども，後編を執筆中に今井先生が亡くなったので，後編は幻の本です．

流体力学 (前編) (物理学選書 (14))

作者: 今井功
出版社/メーカー: 裳華房
発売日: 1973/11/25
メディア: 単行本
クリック: 4回
この商品を含むブログ (3件) を見る

・棚橋隆彦著「電磁熱流体の数値解析ー基礎と応用」
電磁流体を勉強するのに一番参考になった．当初電磁流体について研究する予定だったので，M1 の夏頃少しまじめに読んだ．本の前半は理論が丁寧に書かれていてわかりやすかった．結局，電磁流体について研究することにはならなかったので，ほとんど忘れてしまった．

電磁熱流体の数値解析―基礎と応用 (計算電気・電子工学シリーズ)

作者: 棚橋隆彦,日本シミュレーション学会
出版社/メーカー: 森北出版
発売日: 1995/09/01
メディア: 単行本
この商品を含むブログを見る

最後まで読んでいただきありがとうございました．

2018-06-05

論文の英語。

メモ

最近，論文の英語のルールを忘れつつあるので，いつでも閲覧できるようにメモを残しておく．これをホームページの数学お勉強ノートのところにアップするのも変なので，ブログにアップしておきます．去年の夏に作成したものなので，勘違いしているところもあるかもしれません．間違いがあったら指摘していただければ幸いです．

f:id:watanabeckeiich:20180605194920j:plain

f:id:watanabeckeiich:20180605194932j:plain

f:id:watanabeckeiich:20180605194945j:plain

f:id:watanabeckeiich:20180605194958j:plain

f:id:watanabeckeiich:20180605195009j:plain

f:id:watanabeckeiich:20180605195029j:plain

f:id:watanabeckeiich:20180605195040j:plain

f:id:watanabeckeiich:20180605195050j:plain

2018-06-02

よくわかるフーリエ変換。

よくわかるシリーズ

今日は暑い．ということで，カキ氷のシロップを買いに行ったが，まだ売ってなかった．少々気が早かったみたい．

さて，最近ブログを更新できていないから，そろそろ更新しようと思って，いまパソコンにむかっています．こつこつ書いていた研究進捗ですが，4月から研究ノートを（初めて！）作るようになり，わざわざブログに書く必要がなくなったので，今後は不定期に更新します．

ところで，ついさっき，ちょうど去年フーリエ級数について書いたのを思い出した．

watanabeckeiich.hatenablog.com

この記事を書いたあと，フーリエ変換について書こうと思っていたけれども，すっかり忘れていました．最近，Twitter を見ていると，フーリエ級数とフーリエ変換の違いについて活発に（？）議論されているようなので，今日はフーリエ変換の定義について説明しようと思う．もちろん，フーリエ変換の持つ性質はバラエティーに富んでいるが，ここで説明すると長くなるので，やめておきます．

【目次】

1. Why フーリエ変換?
2. フーリエ変換の定義
3. フーリエ変換を偏微分方程式にどう使うか
4. 参考文献

1. Why フーリエ変換?

フーリエ級数とは何かを思い出そう．フーリエ級数は周期関数に対して考えられるものであった．周期 $2\pi$ の周期関数 $f (t)$ は

$\displaystyle f (t) = \sum_{n = -\infty}^\infty c_n e^{i n t},$

$\displaystyle c_n (t) := \frac{1}{2\pi} \int_{- \pi}^\pi e^{-int} f (t) \mathrm{d} t$

と書けるのであった．特に，周期が $T$ であれば，

$\displaystyle f (t) = \sum_{n = -\infty}^\infty c_n e^{i n \omega t}$

と書くことができる．ここで， $\omega = 2\pi /T$ は周波数を表す．つまり，周期関数 $f(t)$ は単振動 $e^{i\omega n t}$ の重ね合わせで表現できるというのがフーリエ級数の意味することであった．

もし， $f(t)$ が実数直線上 $\mathbb{R}$ で定義された関数で，しかも周期的かどうかわからない場合に対してもフーリエ級数展開が成り立つのか？というのがフーリエ変換のモチベーションである．

2. フーリエ変換の定義

勝手な有限区間 $a \leq t \leq b$ で定義される関数 $f (t)$ は変数変換

$\displaystyle t = \frac{b-a}{2\pi}t'$

により，周期が $2\pi$ である関数 $f(t')$ に変換することができる．実際に，

$\displaystyle \frac{2a}{b-a}\pi \leq t' \leq \frac{2b}{b-a} \pi$

である．よって，

$f(t) = \displaystyle f\bigg( \frac{b-a}{2\pi}t'\bigg) = g(t')$

とおけば，形式的に

$\displaystyle g(t') = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \bigg(\int_{\frac{2a}{b-a}\pi}^{\frac{2b}{b-a} \pi} e^{-in r'} g(r') \mathrm{d}r' \bigg) e^{i n t'} ,$

すなわち，

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{b-a} \sum_{n=-\infty}^\infty \bigg(\int_a^b e^{-i \frac{2\pi n r}{b-a}} f (r) \mathrm{d} r \bigg) e^{i \frac{2\pi n t}{b-a}}$

と書くことができる．ここで， $b-a$ は有限であることに注意しよう（有限でないと上式は無意味になる）．

ここで， $b-a$ は非常に大きいとして，

$\displaystyle s = \frac{2\pi n}{b-a}$

を考える．いま， $n$ は整数であるから， $\Delta n = (n+1) -n =1$ とおくと，

$\displaystyle \frac{1}{b-a} = \frac{\Delta n}{b-a} = \frac{\Delta s}{2\pi}$

であるから， $f(t)$ は

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \sum_s e^{ist} \Delta s \int_a^b e^{-irs} f(r) \mathrm{d} r$

と書ける．これに対して， $a\to -\infty$ , $b\to \infty$ とした極限を考え，さらに和 $\sum$ を積分に置き換えることにより得る式：

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ist} \mathrm{d} s \int_{-\infty}^\infty e^{-irs} f(r) \mathrm{d}r$

を $f(t)$ のフーリエ積分という．このフーリエ積分が収束するためには，関数 $f(t)$ に条件を少し課す必要があるが，ここでは言及しない．

さて， $f(t)$ は

$f(t) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ist} \bigg(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ir s} f(r) \mathrm{d}r \bigg)\mathrm{d} s$

と書くことができる．このとき，

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ir s} f(r) \mathrm{d}r$

を $f(t)$ のフーリエ変換といい， $\mathcal{F}[f](s)$ と書く．よって， $f(t)$ は

$\displaystyle f(t) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ist} \mathcal{F}[f](s)\mathrm{d} s$

と書ける．関数 $g$ に対して，そのフーリエ逆変換 $\mathcal{F}^{-1}[g](t)$ を

$\displaystyle \mathcal{F}^{-1}[g](t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ist} g(s)\mathrm{d} s$

と定義すれば，結局，

$f(t) = \mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[f]](t)$

を得る．これは，関数 $f$ にフーリエ変換して，さらに逆変換すればもとに戻るということを表す．これを反転公式という（もちろん，このときも $f$ に条件が必要だが，ここでは言及しない）．もちろん，順番を変えた

$f(t) = \mathcal{F}[\mathcal{F}^{-1}[f]](t)$

も成り立つ．

ここでは，簡単のために，1次元の場合についてのみ説明したが， $N$ 次元の場合も同様に定義することができる．実際に，関数 $f (x)$ に対して，そのフーリエ変換 $\mathcal{F}[f](\xi)$ およびフーリエ逆変換 $\mathcal{F}^{-1}[f](\xi)$ をそれぞれ

$\displaystyle \mathcal{F} [f] (\xi) = \frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\mathbb{R}^N} e^{- i x \cdot \xi} f(x) \mathrm{d}x$

$\displaystyle \mathcal{F}^{-1} [f] (\xi) = \frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\mathbb{R}^N} e^{- i x \cdot \xi} f(x) \mathrm{d}x$

と定義する．ただし， $f (x)$ は $\mathbb{R}^N$ 上可積分関数である．

もし， $\mathbb{R}^N$ 上可積分でない関数 $f(x)$ をフーリエ変換（フーリエ逆変換）をしたい場合は，超関数を導入する必要がある．これについては，例えば，

ogyahogya.hatenablog.com

がわかりやすいと思う．

3. フーリエ変換を偏微分方程式にどう使うか

フーリエ変換の定義がなんとなくわかったところで，フーリエ変換を実際に用いることを考えよう．いま，簡単のため熱方程式を考える（簡単に考えたいので，以降「変なこと」は生じないと仮定する）．ユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ における熱方程式は，点 $x\in\mathbb{R}^N$ ，時刻 $t\geq 0$ での温度を $u(x,t)$ と表せば，

$\displaystyle \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} - \Delta u(x,t) = 0,$

$u (x,0) =f(x)$

と書くことができる．ただし， $x\in\mathbb{R}^N$ は空間変数， $t\geq 0$ は時間変数であり， $f$ は $t=0$ での初期温度分布， $\Delta = \displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$ はラプラス作用素を表す．