べっく日記

偏微分方程式を研究してるセミプロ研究者の日常

よくわかるN次元の極座標変換。

よくわかるシリーズ

おはようございます．今日もいい天気ですね．

 

最近，極座標変換について講義で詳しく説明されたことないなあ，とふと思った．もちろん，3次元の場合までは講義でやるけれども，N次元の場合は記憶が正しければ教わったことはない気がする．そこで今回はN次元の場合の極座標変換について説明することにする．

 

x\in\mathbb{R}^N として，

x_1=r\cos\theta，

x_2=r\sin\theta\cos\varphi_1，

x_3=r\sin\theta\sin\varphi_1\cos\varphi_2，

・・・

x_{N-1}=r\sin\theta\sin\varphi_1\cdots\sin\varphi_{N-3}\sin\varphi_{N-2}，

x_N=r\sin\theta\sin\varphi_1\cdots\sin\varphi_{N-3}\cos\varphi_{N-2}，

0\leq \theta,\varphi_1,\dots,\varphi_{N-3}\leq\pi，0\leq\varphi_{N-2}\leq2\pi

とおく．

このときのJacobianは

r^{N-1}\sin^{N-2}\theta\sin^{N-3}\varphi_1\cdots\sin\varphi_{N-3}

となるので，

dx=r^{N-1}\sin^{N-2}\theta\sin^{N-3}\varphi_1\cdots\sin\varphi_{N-3}drd\theta d\varphi_1\cdots d\varphi_{N-2}

である．

これは N=2,3 のとき成り立つことはよく知られているから，N\geq 3 として数学的帰納法により示すことができる．この証明のアイディアとしては，まず直交座標から円柱座標に変換し，その次に円柱座標から極座標に変換すればよい．この説明がわかりやすいサイトとして

wasan.hatenablog.com

が挙げられる．一応杉浦光夫著の『解析入門II』にも記述があるが，初学者にとっては説明が難しく感じられると思う．

 

ここで，半径 r のN-1次元単位球面 S^{N-1}=\{x\in\mathbb{R}^N||x|=1\} の表面積 \Omega_{N-1} は，Gamma関数 \displaystyle\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx を用いて

\displaystyle\Omega_{N-1}=\frac{2\pi^{N/2}}{\Gamma(N/2)}

と表せることが知られている．

ゆえに関数 f(x) が |x|=r のみの関数で f(x)=g(r) と表せるとき，

\displaystyle\int_{\mathbb{R}^N}f(x)dx=\Omega_{N-1}\int_0^\infty g(r)r^{N-1}dr

と積分を書き換えることができる．

 

ルベーグ積分の場合のこの証明として

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts)

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts)

 

が挙げられる．

 

さて，昨日修了検定があって無事パスしました．今度の日曜日仮免の学科試験があるので，研究と両立して勉強したいと思います．では．