べっく日記

偏微分方程式を研究してるD1の日常

研究進捗2018/1/15

研究集会の懇親会の後に海外(ドイツ)から来ていた学生とカラオケに行ったのですが,普通に日本語の曲を歌っていてびっくりしました.やはり意識が高いなあと思いました.尊敬します.

 

<これまでの進捗>

・共同研究している T さんと少し議論した.少し勘違いしているところがあった.

・外部領域に拡張するには Weak Neuamnn ...... の論文ではなく,その一つ前の論文が参考になるようだ.残りやるべきことは,ある2つの不等式の証明の「修正」だけのようだ.ただ,修正する前にその不等式を理解していないので,まずはその理解が先だ.

ヘルムホルツ分解について文献をまとめた.また,ホームページで公開した:

リンク:  Memo - Keiichi WATANABE

急いで書いたので,少し間違っているところもありますが,あまり気にしないでください.

・Weak Neumann ...... の論文は何を当たり前なことをやっているんだと思いながら読んでいたが,それはとんだ勘違いで実はすごい論文であることを理解した.あれは noncompact boundary に対して,小薗先生らが開発した理論に頼らず,従来の関数空間で議論を展開しているという点が優れている.

・Navier-Stokes 方程式の弱解について文献をまとめようと思ったが,めんどくさいのでやめた.というより,小薗先生の論説がとてもわかりやすかった.

・しかし,large initial data に対する "global" mild solution に関する論文を見つけた.これはなかなか面白そうな論文なので,今度暇になったら読んでみよう.

・論文のほうは時間がなくてほとんど書き進められなかった.

 

<来週までの目標>

・Gさんらの論文にある不等式を理解する.可能なら「修正」する.

・論文の第2章を修正し,さらに第1章も修正する.

 

研究集会を通じて,いろんな方と話す機会があった.先生方,先輩方の話は非常に有意義であった.今後もしっかり頑張ろうと思います.では.

研究進捗2018/1/9

先日、中本の北極を3〜4ヶ月ぶりに食べました。お腹を壊しましたが、それでもまた食べたくなる味です。不思議だなあ。

 

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今回はいつも行ってる高田馬場店ではなく、渋谷店に行きました。東急線東京メトロから行く場合は2番出口が一番近いです。

 

<これまでの進捗>

・発表練習を何回かやって、今日発表した。緊張していたので、かなり早口になってしまったが、言いたいことはうまくいえたと思う。また、前の人の発表と少し関連のある内容だったため、これまでの発表よりも反応がましだった気がする。

半群の定義域は弱Lpではなく重み付きLpで特徴付けができる(この前の訂正)。直積の場合もB-LやT先生の本に書いてあるだろうと思ったけど大して書いてなかった。やはり、A先生の論文を参考にするしかないようだ。まあ、半空間で成り立っているのだからOKな気がするけどどうなんだろう。

・今日から研究集会のため、共同研究者と久々に再会した。充実したディスカッションをするゾと意気込んでたけど、相手は年末年始の休みを満喫してて、なんも考えてないよごめんね(てへぺろ)と言われた。よって、研究集会が終わった後の週末に少し議論しようとうことになった。

・W-Kの論文を読み、アイディアをつかんだ。結局、重要なところはS先生の論文を引用していたので、我々の場合はまずS先生の結果を考えたい領域に拡張する必要があるみたいだ。

・論文を少し書き直した。

・暇つぶしにテレンス・タオ先生の論文 "Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation" の解説記事を読んだ。

Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation | What's new

あの論文は非線形項を「いい感じに」少し書き直して、エネルギー等式(不等式?)を満たすような解が有限時間で爆発することを言っていて、ウェーブレット解析と確率空間も使っているようだ。ただ、全てをタオ先生が考えたというわけではなく、もともとそういう先行研究があったみたいだ。タオ先生のオリジナリティは、フーリエマルチプライヤーを使って、非線形項を「いい感じに」変形したということにある気がする。全体的によくわからないけど、正則性については完全に無視して計算しているので、この辺りをもう少し詳細に考察すればより良い結果が出るかもしれない。まあ難しそうなので、私は(少なくても10年くらいは)やらないことに決めた。

 

<来週までの目標>

・共同研究者と議論し、今後の方針を決める。

・研究集会で学んだことをなるべくLaTeXでまとめる。特にヘルムホルツ分解と、Navier-Stokes方程式の弱解の先行研究と最近の研究動向についてまとめる。

半群の定義域の特徴付けについてはしばらく放置して、論文の第2章を書き直す。今月末には投稿することを目標にする。

 

最近、dTVにて映画「イミテーション・ゲーム/エニグマと天才数学者の秘密」という映画を見ました。これは数学者チューリングをモデルとした映画で、個人的にはまあまあおもしろかったです(ノンフィクションです)。母に「アルゴ」という映画が面白いと聞いたので、今度見てみようと思います。また、最近始まった「ポプテピピック」というアニメも大変面白いです。では。

2018年の研究目標

いよいよ 2018年が始まりました.今年もよろしくお願いいたします.さて,「一年の計は元旦にあり」という言葉もあるように,ここでは昨年のの研究成果を振り返ると共に及び本年の研究目標を述べたいと思います.

 

《0. 昨年の研究成果》

Navier-Stokes-Korteweg 方程式を用いた,相転移を伴う圧縮・非圧縮粘性二相流の自由境界問題の定式化に成功した.これは従来の Navier-Stokes-Fourier 方程式系の拡張にあたる.特に圧縮性粘性流体の密度の空間変数についての正則性を改善できることを示した.この内容は修士論文としてまとめただけでなく,単著論文として J. Math. Fluid Mech. に掲載が決定した.また,この内容を学会などで発表した.

 また 10 月から 12 月までドイツの D 大学に派遣された.ポスドクの T 氏と共同で Lipschitz 外部領域における Stokes 方程式の研究に取り組んだ.これは S (2012) の有界領域における結果を外部領域に拡張するものである.試行錯誤を経て Stokes 半群の証明に成功した.

 

《1. 研究内容》

昨年の研究成果をもとに,本年は以下の課題に取り組む.

ーA. 相転移を伴う圧縮・非圧縮粘性二相流の自由境界問題の時間局所適切性.

ーB. 同上の問題の有界領域における時間大域適切性.

ーC. Lipschitz 外部領域の  H^\infty-calculus 及びその非線形問題の最大正則性.

ーD. Lipschitz 外部領域の境界が回転しているような問題の時間局所一意可解性.

 

《2. 研究の状況》

現時点において,研究内容 A は細かいところを除いて完成している.逆に言えば,まだ細かいところができていないということである.また,論文もその細かいところを除いて書けている.ただ,かなり長くなってしまった(いま 60 ページ)し,イントロももう少しブラッシュアップする必要があると思われる.一方で,研究内容 C については,昨年の研究成果にも書いたように,Stokes 半群の生成までは示せている.一応 K-W (2017)の論文のアイディアを適用すればその  H^\infty-calculus について証明できそうだが,このアイディアを外部領域の場合に拡張できるか確認中である.

 

《3. 研究方針・対処すべき課題》

研究内容 A 及び B については,既存の 1 相流に対する解析手法を応用する形で研究を進める.1 相流に対する解析手法はほとんど完成しているので,それらの論文の理解に努める.ただし,本研究では未知関数が従来よりも多いため,考えたい実補間空間などが直積集合になる.そのため,従来と「同様に」実補間空間考えることが難しくなることが予想され,詳細な考察が求められることが予想される.必要に応じて補間空間論を勉強する.

 研究内容 C については,共同研究者である T 氏が 1 月上旬に来日する予定なので,そのときに可能な限り議論する.またその議論をもとに論文を仕上げる.また,この結果をもとに研究内容 D にも取り組む.ホームページにもあるように,私は本年の 5 月に訪独する予定なので,そこで研究内容 D について可能な限り議論する.

 本年の 9 月から 12 月までイギリスの I 大学に(ありがたいことに!)派遣されることが予定されている.充実した議論をするためにも,英語によるコミュニケーション能力の向上,特に語彙力とリスニング能力の向上は対処すべき課題である.

 現時点では学振 DC1 特別研究員について「補欠採用」ではあるが,採用内定の可能性はとても低い.そのため本年は学振 DC2 特別研究員に応募する必要がある(可能性が極めて高い).先程の研究の状況を踏まえて,この応募〆切である 5 月までに論文を 2 本完成させて投稿することを目指す.

 

《4. 研究を進める上でのリスク》

ーI. 相転移を伴う圧縮・非圧縮粘性二相流の自由境界問題のモデルを信じてもらえず,そのために研究に興味をもってもらえないリスク.

興味をもってもらえるよう,研究発表を行うだけでなく,論文の解説記事をホームページに掲載するようにする.特に,物理的な説明や,従来用いられてきた diffuse interface model との関連などを詳しく説明するようにする.このモデルは「絶対に」物理的に正しいので,信じてもらえない人には納得してもらえるよう繰り返し説明する.

 

ーII. 研究内容 A 及び B において,計算量が膨大になり,研究計画に支障が出るリスク.

境界条件を Dirichlet 境界条件にしたり,自由境界を球面や平面からの摂動として考えられるような場合に限定することで計算量を減らす.

 

ーIII. 講義の受講やその課題,研究発表の準備などにより研究時間が(少なからず)制限されるリスク.

スケジュールの管理をしっかりやることで,研究時間を確保する.また,移動中に研究ができるよう,ダウンロードした論文や執筆中の論文などを定期的に Dropbox にバックアップを取る.また,課題や研究発表の準備は時間を決めて取り組むようにする.

 

ーIV. 投稿した論文がリジェクトされるリスク.

大学で時々開催される論文の書き方講座への参加や,「質の高い」論文の書き方を勉強することで,アクセプトされるような論文の書き方を学ぶようにする.それに加えて,適切なジャーナルに投稿することでリジェクトのリスクを下げることに努める.

 

ーV. 論文執筆に時間がかかり,そのために研究が進まないリスク.

論文の執筆に時間がかかりすぎないよう,研究が少し進んだら LaTeX でまとめるようにする.また,論文を書き直す手間を省くため,論文の構成が決まってから論文を書くようにする.それに加えて,論文を執筆する時間を決めることで集中して執筆できるようにし,執筆時間の短縮に努める.

 

ーVI. 参考にする論文を理解できないリスク.

論文を理解できないときは,一人で考え込まないようにする.どうしても理解できないときはとりあえずあきらめて次のことを考えるようにする.可能であれば著者に質問メールを送る.

 

ーVII. 体調を崩し,研究が進まないリスク.

体調管理には十分気をつける.特に帰宅時には,引き続き手洗いとうがいをするようにする.また,運動不足に起因する生活習慣病を防ぐため,定期的に運動するよう努める.

 

ーVIII. 勉強に夢中になり,研究が進まないリスク.

研究に必要で,すぐに役に立つものだけを勉強するようにする.そうでないものの勉強の優先順位は下げるよう努め,研究を優先する.研究に一区切りがついたら,集中して勉強するようにする.また,勉強したものは LaTeX でまとめることで繰り返し勉強することを防ぐ.また,なるべく研究集会などに参加することで,勉強する手間を省くようにする.

 

本年は昨年よりも仕事の量が増えると思います.年間スローガンは「know」で頑張りたいと思います.

 

2018年1月1日

渡邊

研究進捗2017/12/27

今年も終わりに近づいてきました.今年は苦難の連続であった気がします.厄年だったからかな.厄払いしておけばよかったかもしれない.

 

・発表練習をやった.研究集会では,練習どおりきちんと発表できた気がするけど,みんなあまり興味なさそうだった.もっと自身の研究を知ってもらう努力が必要な気がする.

・実は学振DC1の面接を受けていたが,残念ながら補欠になってしまった.来年こそはしっかり採用されるよう頑張ろうと思う.いろいろ振り返ってみると,面接では申請書で書けていなかった点を質問されていたのかもしれない.来年はこれらを踏まえた上で再チャレンジしよう.

・Weak Neumann implies stokes の論文を読んだけど,境界が滑らかだから localization の理論を使って,即ち半空間の結果を使っていろいろやっているみたいだった.考えたい問題ではそうはいかないので,いろいろ工夫しないといけないのかもしれない.これについてはW-Kの2017年の論文が参考になるかもしれない.

・先輩から,半群の定義域についての指摘があった.感覚としては成り立っているけど,厳密にはどうか?というものだった.

 

<来週までの目標>

・W-K(2017)の論文を読む.アイディアをつかむ.

半群の定義域について,弱Lpを用いて特徴付けができるっぽいので,それをベースにやりたいことを示せるかもしれない.場合によってはB-Lの本を参考にする.

・1月の研究集会のスライドをチェックし,発表の原稿を作り,20回は練習する.今度は英語なので,発音にも気をつける.

・共同研究者と連絡を取り,議論の内容を絞る.

・論文を少し書き進める.

 

 

そういえば先日24歳の誕生日でした.

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また,たくさん(?)のメッセージもいただきました.いろんな方々にこの場を借りてお礼申し上げます.

 

この1年を振り返ってみると,たくさんの方々にお世話になりました.来年もよろしくお願いします.ではみなさん良いお年を.

私の研究

そろそろ研究の進捗を書こうかなと思ったけど、先日の忘年会で「何書いてるかわからないから、数学わからない人にもわかるように書いてほしい」というリクエストをいただいた。そこで、今日は少し志向を変えて、私が何を研究しているのか、そもそも数学の研究とは何かをざっくりわかりやすく書いてみようと思う。

 

ブログを見てもわかるように、私の専門分野は「数学」である。数学の分野はざっくり言って、

1. 代数

2. 幾何

3. 解析

4. 応用数理・その他(統計などを含む)

の4分野に分けられるとされている(だいたいの大学の数学科ではたぶんこう分けている)。私はこの中でも「解析」と言われる分野を専攻している。解析の分野は物理現象を記述する方程式を『解析』するのである。

 

方程式の解析というと何やら難しそうに聞こえるけど、解析の分野の研究は

A. 解析を進めるのに必要な道具の開発

B. その道具を使って新しいことを見い出し、これまでにわかっている事実を改良する

の2パターンに分類されるかと思う。他分野もたぶん同じだけど、あまり詳しくないので、はっきり申し上げることはできない。すみません。ちなみに、最近世間を賑わせている(?)京大の望月先生の abc 予想の解決は上記の A と B の両方を含んでいると思う。イメージとしては、B をやるために A をやる感じ。研究を進める上で少しめんどくさいのは、すでにわかっている道具だけで研究を進められるかどうかわからないということである。従って、私の分野の研究は、A と B のどっちか?とははっきりいうことができない。ただ、私はまだ未熟なので主に B を目指して研究している。

 

解析では、主に物理現象を記述する方程式の「解」を解析することが仕事になってる。なぜ「解」を解析するのかというと、それが物理現象の「振る舞い」を表現するからである。例えば、天気予報では、『プリミティブ方程式』という方程式のもとに、数値計算をして、それをもって予測をしている(最近では、過去の気象データと統計学も用いているらしい)。この方程式の解がわかるということは、「いつどんな方向に」大気が動くのかがわかるということである。極論を言うと、解がわかれば、天気予報は毎回当たるということである。つまり、天気予報が毎回当たるとは限らないのは、方程式の解がまだよくわかっていないということである。

 

さて、やや抽象的な話になってきたので、具体的な話をしよう。今回のブログの目的は、私が何を研究しているのか、ということであった。私は今のところ、

・水と水蒸気がごちゃ混ぜになっているもの(水が水蒸気になったり、水蒸気が水になることも考える)

・境界が凸凹しているような水

の2つが主な研究対象で、これらを記述するような方程式の解が「いい性質」を持つことを証明しようと頑張っている。これはそれぞれ、

・海と大気の動き(両方を考える)

・船が浮かんでいる海の動き(船底は凸凹している)

を考えることに相当する。

 

ここで、「いい性質」とは何か気になるところだけど、簡単に言えば、解が「ちゃんと求められる・定まる」とか、これまでに知られていた結果を拡張するなどである。まあほかにもいろいろあるけど、要は「数学的においしい」内容を追求したいということである。場合によっては数学的に「残念な」結果があることもあるけど、それはそれでちゃんと論文となるので、解析の分野では研究において『捏造』はないと(たぶん)言える。

 

まあ何やらいろいろ難しそうだけど、すべてこれまでに勉強してきたことの積み重ねになっているわけです。何か特別な魔法を使いこなすわけでもないし、中学や高校で学んだ数学の知識もよく使います。研究には「遺伝子的な才能」はそこまで求められないと思います。それよりも、研究に没頭する『貪欲さ』が求められるのではないかと思います。これは「天才」と言われるテレンス・タオ先生(UCLA)も主張しています。

参考: Work hard | What's new

 

数学をはじめとする基礎研究は「役に立たない」かもしれない、それよりも研究は「知的好奇心の追求」なんだ、という声をノーベル賞の受賞者の発表の時期になると毎年見かける気がする。それを聞くと、「なるほど、研究とは暇つぶしなのか」と思うかもしれない。しかし、研究というのは「プロジェクト」であって、「暇つぶし」ではありません。つまり、研究にはその目的(意味)とゴールが明確に決まっているということです(最近では予算の関係から期間も加わっていると思う)。最近ノーベル賞を受賞した大隅良典先生の「役に立たない研究をしよう」という発言が話題になったけど、彼は決して「意味のない研究をしよう」とは言っていない。役に立つかどうかはとりあえずおいといて、「意味のある」研究をこつこつと重ねていくことが大事だと思います。

 

せっかくのクリスマスイブに読んでくれてありがとうございました。では。

研究進捗2017/12/17

先日帰国しました.実りある海外派遣であったと思います.お世話になった方々に感謝してもしきれません.

 

・研究集会のアブストラクトを提出し,発表用スライドも完成させた.

ポスドクのTさんと議論の末,圧力の減衰評価ができた.また,半群の生成に必要なレゾルベント評価の導出に成功した.次の課題としては R-有界性を示すこと.

・論文を加筆した.残りは非線形項の評価を書くだけだ.

・印刷した論文を整理した.

 

<来週までの目標>

・発表用原稿を作成し,発表練習を20回はやる.

・R-有界性の復習をする.

非線形項の評価を書いて,論文の完成を目指す.

・"Weak Neumann implies Stokes" の論文を理解する.

 

やることがたまってきましたが,こつこつ頑張ろうと思います.では.

研究進捗2017/12/10

雪はほとんど降らないと聞いていたのに、めっちゃ雪が降ってて動揺してます。

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それにしてもドイツの方々はほとんど傘を差さないのは何故なんだろう。

 

そういえば投稿していた論文が無事アクセプトされ、オンラインで公開されました。

Compressible–Incompressible Two-Phase Flows with Phase Transition: Model Problem | SpringerLink

相転移を伴う圧縮・非圧縮の二相問題を扱った論文です。引用してもらえるとうれしいです。

 

・圧力の減衰評価が少し間違っていたことが判明した。ただし、 L2 では正しい。それにしても Lipschitz 領域における研究は難しいな。

ポスドクの方が言うには、複素補間を用いれば Lp に拡張できると言われた。正直なところ、Lp の結果と L2の結果を複素補間を使って Lp の結果が出るだろうか。なんか間違ってる気がするな。

・現時点で分かっていることを Latex でまとめた。

・出来上がった論文について、非線形まで扱ったほうがいいという意見をいただいた。

 

<来週までの目標>

・研究集会のアブストラクトを提出する。また、発表用のスライドも作成する。

・圧力の評価を再考する。帰国前にポスドクの方とミーティングを行い、今後の方針について話し合う。

・論文を加筆し、非線形まで扱う。できれば書き終えたい。非線形までやるなら等温に限定しないほうがいいかもしれないけど、それはページ数と相談しよう。

 

 

いよいよ帰国まであと数日となりました。たぶん帰国後も引き続き同じ課題に取り組むことになるかと思います。なるべくポスドクの方や受け入れ先の教授の方からアイディアを盗みたいと思います。これはインパクトのある研究なのでなんとしてでも成功させたいですね。頑張ります。では。