べっく日記

偏微分方程式を研究してるD1の日常

研究進捗2018/2/25

前回の更新からだいぶ時間が経ってしまいました.この間,ロシアに旅行に行ってきましたが,その模様については時間に余裕ができたら書こうと思います.

 

<これまでの進捗>

非線形項の評価をチェックして,論文を完成させた.ただし,論文が70ページになってしまったので,どこか削る必要がある.

カルデロン・ジグムント分解と常微分方程式について少し勉強し,LaTeX でまとめた.また,それらをホームページで公開した.

リンク:Memo - Keiichi WATANABE

・3月上旬にある講演(30分)のスライドのうち,10枚作った.いま思えば,勉強なんか後回しにしてスライドを先に作るべきだった.

 

<来週までの目標>

・論文を20ページ削って修正する.

・スライドを今月中に完成させる.また,発表原稿を作る.

・3月下旬の学会のスライドを作成する.

 

最近,もっと勉強すればよかったなあと思います.勉強ができる(時間がある)というのは大変幸せなことなんだなあと思います.勉強できるよう頑張りたいと思います.では.

研究進捗2018/2/5

<これまでの進捗>

非線形項を書き直した.

・初期値の連続依存性は陰関数定理を用いて証明できるみたいだけど,なんかよくわからなかった.

・主定理の主張を厳密に書き直した.

非線形項の評価をちゃちゃっと書いて論文を完成させようと思ったが,参考にしていた先生の講義ノートに誤りがあった.

・共同研究者と連絡をとり,証明のヒントを得た.

 

<来週ぐらいまでの目標>

・先生の講義ノートを直して,非線形項を評価する.

 

先日,富山県で研究室の飲み会がありました.おいしい食事,お酒をいただくことが出来ました.幹事のSさん,店の予約をしてくれたYさんをはじめ様々な人にお世話になりました.ありがとうございました.

研究進捗2018/1/30

早いもので今年も1ヶ月が経とうとしています.さっさと論文を完成させたいものです.

 

<これまでの進捗>

・論文のイントロダクションを書き直し,先輩にチェックしてもらった.

・論文の誤植を訂正した.

・低階項の処理について考えた.よく考えると圧力消去の仕方が不十分(というより,書かなければいけないことがもう少しある)であることがわかった.深刻な問題と思われたが,そんなことはなかった.よかった.

非線形項の評価を少し書いた.非線形項が間違っているところがあった.

・計算メモが迷子になることが増えてきたので研究ノートを作った.このノートには結果やアイディアだけ書くことにしよう.

 

<来週までの目標>

・間違っていた非線形項を書き直す.

非線形項を評価する.

・係数(\gamma_1)を直す.

・\pi_+, \psi_+ の正則性をしっかり書く.

・初期値の連続依存性について理解を深める.

・2月4日までに論文を完成させる.

 

もっと頑張ります.では.

研究進捗2018/1/22

今日は4年前に匹敵するほどの大雪みたいです.昔は雪と聞くとうきうきしてたけれども,今は雪かきしなくちゃいけないのかあめんどくさいなあと思うようになりました.歳の経過は早いものです.

 

<これまでの進捗>

・論文の第2章の修正が終わった.

・論文の第1章を少し直した.でもやっぱり最後に直したほうがいい気がする.

非線形項の評価を少しした.第2章を直したことで書きやすくなった.

・Gさんらが書いた論文を理解した.ヒントを得ることが出来た(と思う).ただ,書いていた論文が完成できそうなのでこの研究はしばらく放置しよう.

 

<来週までの目標>

非線形項を評価する.

・論文の第1章をもう少し書き直す.投稿する(予定の)ジャーナルを考えると,第1章は2つに分けたほうが読みやすいかもしれない.

 

数学科の同期のH君はもう単著論文を5本書いていたり,同じく同期のT君は単著論文を3本書いていてすごいなあと思います.研究はレースではないけれども,やはり負けたくないなあいう気持ちでいっぱいです.私も早く論文を完成できるよう頑張ります.では.

研究進捗2018/1/15

研究集会の懇親会の後に海外(ドイツ)から来ていた学生とカラオケに行ったのですが,普通に日本語の曲を歌っていてびっくりしました.やはり意識が高いなあと思いました.尊敬します.

 

<これまでの進捗>

・共同研究している T さんと少し議論した.少し勘違いしているところがあった.

・外部領域に拡張するには Weak Neuamnn ...... の論文ではなく,その一つ前の論文が参考になるようだ.残りやるべきことは,ある2つの不等式の証明の「修正」だけのようだ.ただ,修正する前にその不等式を理解していないので,まずはその理解が先だ.

ヘルムホルツ分解について文献をまとめた.また,ホームページで公開した:

リンク:  Memo - Keiichi WATANABE

急いで書いたので,少し間違っているところもありますが,あまり気にしないでください.

・Weak Neumann ...... の論文は何を当たり前なことをやっているんだと思いながら読んでいたが,それはとんだ勘違いで実はすごい論文であることを理解した.あれは noncompact boundary に対して,小薗先生らが開発した理論に頼らず,従来の関数空間で議論を展開しているという点が優れている.

・Navier-Stokes 方程式の弱解について文献をまとめようと思ったが,めんどくさいのでやめた.というより,小薗先生の論説がとてもわかりやすかった.

・しかし,large initial data に対する "global" mild solution に関する論文を見つけた.これはなかなか面白そうな論文なので,今度暇になったら読んでみよう.

・論文のほうは時間がなくてほとんど書き進められなかった.

 

<来週までの目標>

・Gさんらの論文にある不等式を理解する.可能なら「修正」する.

・論文の第2章を修正し,さらに第1章も修正する.

 

研究集会を通じて,いろんな方と話す機会があった.先生方,先輩方の話は非常に有意義であった.今後もしっかり頑張ろうと思います.では.

研究進捗2018/1/9

先日、中本の北極を3〜4ヶ月ぶりに食べました。お腹を壊しましたが、それでもまた食べたくなる味です。不思議だなあ。

 

f:id:watanabeckeiich:20180109212435j:image

 

今回はいつも行ってる高田馬場店ではなく、渋谷店に行きました。東急線東京メトロから行く場合は2番出口が一番近いです。

 

<これまでの進捗>

・発表練習を何回かやって、今日発表した。緊張していたので、かなり早口になってしまったが、言いたいことはうまくいえたと思う。また、前の人の発表と少し関連のある内容だったため、これまでの発表よりも反応がましだった気がする。

半群の定義域は弱Lpではなく重み付きLpで特徴付けができる(この前の訂正)。直積の場合もB-LやT先生の本に書いてあるだろうと思ったけど大して書いてなかった。やはり、A先生の論文を参考にするしかないようだ。まあ、半空間で成り立っているのだからOKな気がするけどどうなんだろう。

・今日から研究集会のため、共同研究者と久々に再会した。充実したディスカッションをするゾと意気込んでたけど、相手は年末年始の休みを満喫してて、なんも考えてないよごめんね(てへぺろ)と言われた。よって、研究集会が終わった後の週末に少し議論しようとうことになった。

・W-Kの論文を読み、アイディアをつかんだ。結局、重要なところはS先生の論文を引用していたので、我々の場合はまずS先生の結果を考えたい領域に拡張する必要があるみたいだ。

・論文を少し書き直した。

・暇つぶしにテレンス・タオ先生の論文 "Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation" の解説記事を読んだ。

Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation | What's new

あの論文は非線形項を「いい感じに」少し書き直して、エネルギー等式(不等式?)を満たすような解が有限時間で爆発することを言っていて、ウェーブレット解析と確率空間も使っているようだ。ただ、全てをタオ先生が考えたというわけではなく、もともとそういう先行研究があったみたいだ。タオ先生のオリジナリティは、フーリエマルチプライヤーを使って、非線形項を「いい感じに」変形したということにある気がする。全体的によくわからないけど、正則性については完全に無視して計算しているので、この辺りをもう少し詳細に考察すればより良い結果が出るかもしれない。まあ難しそうなので、私は(少なくても10年くらいは)やらないことに決めた。

 

<来週までの目標>

・共同研究者と議論し、今後の方針を決める。

・研究集会で学んだことをなるべくLaTeXでまとめる。特にヘルムホルツ分解と、Navier-Stokes方程式の弱解の先行研究と最近の研究動向についてまとめる。

半群の定義域の特徴付けについてはしばらく放置して、論文の第2章を書き直す。今月末には投稿することを目標にする。

 

最近、dTVにて映画「イミテーション・ゲーム/エニグマと天才数学者の秘密」という映画を見ました。これは数学者チューリングをモデルとした映画で、個人的にはまあまあおもしろかったです(ノンフィクションです)。母に「アルゴ」という映画が面白いと聞いたので、今度見てみようと思います。また、最近始まった「ポプテピピック」というアニメも大変面白いです。では。

2018年の研究目標

いよいよ 2018年が始まりました.今年もよろしくお願いいたします.さて,「一年の計は元旦にあり」という言葉もあるように,ここでは昨年のの研究成果を振り返ると共に及び本年の研究目標を述べたいと思います.

 

《0. 昨年の研究成果》

Navier-Stokes-Korteweg 方程式を用いた,相転移を伴う圧縮・非圧縮粘性二相流の自由境界問題の定式化に成功した.これは従来の Navier-Stokes-Fourier 方程式系の拡張にあたる.特に圧縮性粘性流体の密度の空間変数についての正則性を改善できることを示した.この内容は修士論文としてまとめただけでなく,単著論文として J. Math. Fluid Mech. に掲載が決定した.また,この内容を学会などで発表した.

 また 10 月から 12 月までドイツの D 大学に派遣された.ポスドクの T 氏と共同で Lipschitz 外部領域における Stokes 方程式の研究に取り組んだ.これは S (2012) の有界領域における結果を外部領域に拡張するものである.試行錯誤を経て Stokes 半群の証明に成功した.

 

《1. 研究内容》

昨年の研究成果をもとに,本年は以下の課題に取り組む.

ーA. 相転移を伴う圧縮・非圧縮粘性二相流の自由境界問題の時間局所適切性.

ーB. 同上の問題の有界領域における時間大域適切性.

ーC. Lipschitz 外部領域の  H^\infty-calculus 及びその非線形問題の最大正則性.

ーD. Lipschitz 外部領域の境界が回転しているような問題の時間局所一意可解性.

 

《2. 研究の状況》

現時点において,研究内容 A は細かいところを除いて完成している.逆に言えば,まだ細かいところができていないということである.また,論文もその細かいところを除いて書けている.ただ,かなり長くなってしまった(いま 60 ページ)し,イントロももう少しブラッシュアップする必要があると思われる.一方で,研究内容 C については,昨年の研究成果にも書いたように,Stokes 半群の生成までは示せている.一応 K-W (2017)の論文のアイディアを適用すればその  H^\infty-calculus について証明できそうだが,このアイディアを外部領域の場合に拡張できるか確認中である.

 

《3. 研究方針・対処すべき課題》

研究内容 A 及び B については,既存の 1 相流に対する解析手法を応用する形で研究を進める.1 相流に対する解析手法はほとんど完成しているので,それらの論文の理解に努める.ただし,本研究では未知関数が従来よりも多いため,考えたい実補間空間などが直積集合になる.そのため,従来と「同様に」実補間空間考えることが難しくなることが予想され,詳細な考察が求められることが予想される.必要に応じて補間空間論を勉強する.

 研究内容 C については,共同研究者である T 氏が 1 月上旬に来日する予定なので,そのときに可能な限り議論する.またその議論をもとに論文を仕上げる.また,この結果をもとに研究内容 D にも取り組む.ホームページにもあるように,私は本年の 5 月に訪独する予定なので,そこで研究内容 D について可能な限り議論する.

 本年の 9 月から 12 月までイギリスの I 大学に(ありがたいことに!)派遣されることが予定されている.充実した議論をするためにも,英語によるコミュニケーション能力の向上,特に語彙力とリスニング能力の向上は対処すべき課題である.

 現時点では学振 DC1 特別研究員について「補欠採用」ではあるが,採用内定の可能性はとても低い.そのため本年は学振 DC2 特別研究員に応募する必要がある(可能性が極めて高い).先程の研究の状況を踏まえて,この応募〆切である 5 月までに論文を 2 本完成させて投稿することを目指す.

 

《4. 研究を進める上でのリスク》

ーI. 相転移を伴う圧縮・非圧縮粘性二相流の自由境界問題のモデルを信じてもらえず,そのために研究に興味をもってもらえないリスク.

興味をもってもらえるよう,研究発表を行うだけでなく,論文の解説記事をホームページに掲載するようにする.特に,物理的な説明や,従来用いられてきた diffuse interface model との関連などを詳しく説明するようにする.このモデルは「絶対に」物理的に正しいので,信じてもらえない人には納得してもらえるよう繰り返し説明する.

 

ーII. 研究内容 A 及び B において,計算量が膨大になり,研究計画に支障が出るリスク.

境界条件を Dirichlet 境界条件にしたり,自由境界を球面や平面からの摂動として考えられるような場合に限定することで計算量を減らす.

 

ーIII. 講義の受講やその課題,研究発表の準備などにより研究時間が(少なからず)制限されるリスク.

スケジュールの管理をしっかりやることで,研究時間を確保する.また,移動中に研究ができるよう,ダウンロードした論文や執筆中の論文などを定期的に Dropbox にバックアップを取る.また,課題や研究発表の準備は時間を決めて取り組むようにする.

 

ーIV. 投稿した論文がリジェクトされるリスク.

大学で時々開催される論文の書き方講座への参加や,「質の高い」論文の書き方を勉強することで,アクセプトされるような論文の書き方を学ぶようにする.それに加えて,適切なジャーナルに投稿することでリジェクトのリスクを下げることに努める.

 

ーV. 論文執筆に時間がかかり,そのために研究が進まないリスク.

論文の執筆に時間がかかりすぎないよう,研究が少し進んだら LaTeX でまとめるようにする.また,論文を書き直す手間を省くため,論文の構成が決まってから論文を書くようにする.それに加えて,論文を執筆する時間を決めることで集中して執筆できるようにし,執筆時間の短縮に努める.

 

ーVI. 参考にする論文を理解できないリスク.

論文を理解できないときは,一人で考え込まないようにする.どうしても理解できないときはとりあえずあきらめて次のことを考えるようにする.可能であれば著者に質問メールを送る.

 

ーVII. 体調を崩し,研究が進まないリスク.

体調管理には十分気をつける.特に帰宅時には,引き続き手洗いとうがいをするようにする.また,運動不足に起因する生活習慣病を防ぐため,定期的に運動するよう努める.

 

ーVIII. 勉強に夢中になり,研究が進まないリスク.

研究に必要で,すぐに役に立つものだけを勉強するようにする.そうでないものの勉強の優先順位は下げるよう努め,研究を優先する.研究に一区切りがついたら,集中して勉強するようにする.また,勉強したものは LaTeX でまとめることで繰り返し勉強することを防ぐ.また,なるべく研究集会などに参加することで,勉強する手間を省くようにする.

 

本年は昨年よりも仕事の量が増えると思います.年間スローガンは「know」で頑張りたいと思います.

 

2018年1月1日

渡邊